Em uma certa região do espaço, o campo magnético tem componentes na direção z e na direção que aponta radialmente pra fora (ou em direção) ao eixo
. A componente
tem magnitude
, onde a constante A é dada por
. A componente radial depende somente de
(a distância radial com relação ao eixo z). Usando a lei de Gauss para o magnetismo, ache a intensidade da componente radial para
. Dê sua resposta em mT .
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o enunciado está pedindo. Temos um campo magnético com duas componentes: uma na direção z,
, e outra na direção radial,
. A componente
é dada por
, onde
. Nossa missão é usar a lei de Gauss para o magnetismo para encontrar a intensidade da componente radial
quando
. Para isso, vamos lembrar que a lei de Gauss para o magnetismo afirma que o fluxo magnético total através de uma superfície fechada é zero, ou seja,
.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher uma superfície gaussiana apropriada para facilitar os cálculos. Como o campo tem simetria cilíndrica (devido à componente radial que depende apenas de
), vamos optar por um cilindro coaxial com o eixo z. Esse cilindro terá raio
e uma altura
.
Passo 3
Agora, vamos calcular o fluxo magnético através das diferentes partes do cilindro: as tampas superior e inferior (placas circulares) e a superfície lateral (a parte curva do cilindro).
-
Fluxo pelas tampas superior e inferior:A componente radial
é perpendicular às tampas, mas não contribui para o fluxo já que é paralelo a nessas superfícies. Apenas a componente contribui, mas como ela varia com , vamos considerar que no topo e na base, os fluxos se cancelam devido à simetria. -
Fluxo pela superfície lateral:Aqui,
tem uma componente radial que é perpendicular à superfície lateral, então o fluxo é simplesmente vezes a área lateral do cilindro. A área lateral de um cilindro é .
Passo 4
Aplicando a lei de Gauss para o magnetismo:
Isso significa que o fluxo total pelo cilindro é zero. Então, temos:
Como o fluxo pelas tampas se cancela, sobra apenas:
Passo 5
Resolvendo a equação acima para
:
Mas isso não parece fazer sentido, j�� que estamos procurando uma componente radial não nula. O que está acontecendo aqui é que a componente
não contribui diretamente para o fluxo, mas sua variação com
pode influenciar
. Vamos reconsiderar a abordagem.
Passo 6
Como
, isso sugere que o campo magnético varia ao longo do eixo z. Para garantir que a divergência do campo magnético seja zero (
), precisamos relacionar
e
.
Em coordenadas cilíndricas, a divergência é dada por:
Passo 7
Substituindo
na equação acima:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 8
Integrando a equação em relação a
:
Onde
é a constante de integração. Assumindo que o campo magnético não é infinito quando
, temos
. Então:
Passo 9
Agora, substituímos
e
:
Resposta
A intensidade da componente radial para
é de aproximadamente
.
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e
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e
? Dê sua resposta em T.
M ostre que para n capacitâncias em série, a capacitância equivalente é dada por: