Em uma certa região do espaço, o campo magnético tem componentes na direção z e na direção que aponta radialmente pra fora (ou em direção) ao eixo z. A componente z tem magnitude Bz=Az, onde a constante A é dada por A=2,15 mT / cm. A componente radial depende somente de r (a distância radial com relação ao eixo z). Usando a lei de Gauss para o magnetismo, ache a intensidade da componente radial para r=1 cm. Dê sua resposta em mT .

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o enunciado está pedindo. Temos um campo magnético com duas componentes: uma na direção z, , e outra na direção radial, . A componente é dada por , onde . Nossa missão é usar a lei de Gauss para o magnetismo para encontrar a intensidade da componente radial quando . Para isso, vamos lembrar que a lei de Gauss para o magnetismo afirma que o fluxo magnético total através de uma superfície fechada é zero, ou seja, .

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma superfície gaussiana apropriada para facilitar os cálculos. Como o campo tem simetria cilíndrica (devido à componente radial que depende apenas de ), vamos optar por um cilindro coaxial com o eixo z. Esse cilindro terá raio e uma altura .

Passo 3

Agora, vamos calcular o fluxo magnético através das diferentes partes do cilindro: as tampas superior e inferior (placas circulares) e a superfície lateral (a parte curva do cilindro).
  • Fluxo pelas tampas superior e inferior:
    A componente radial é perpendicular às tampas, mas não contribui para o fluxo já que é paralelo a nessas superfícies. Apenas a componente contribui, mas como ela varia com , vamos considerar que no topo e na base, os fluxos se cancelam devido à simetria.
  • Fluxo pela superfície lateral:
    Aqui, tem uma componente radial que é perpendicular à superfície lateral, então o fluxo é simplesmente vezes a área lateral do cilindro. A área lateral de um cilindro é .

Passo 4

Aplicando a lei de Gauss para o magnetismo:
oint B cdot dA = 0
Isso significa que o fluxo total pelo cilindro é zero. Então, temos:
Fluxo pelas tampas + Fluxo pela lateral = 0
Como o fluxo pelas tampas se cancela, sobra apenas:
Brad cdot 2pi r h = 0

Passo 5

Resolvendo a equação acima para Brad cdot 2pi r h = 0 implies Brad = 0 :
Mas isso não parece fazer sentido, j�� que estamos procurando uma componente radial não nula. O que está acontecendo aqui é que a componente não contribui diretamente para o fluxo, mas sua variação com pode influenciar . Vamos reconsiderar a abordagem.

Passo 6

Como nabla cdot B = 1r partial (r Br)partial r + partial Bzpartial z = 0 , isso sugere que o campo magnético varia ao longo do eixo z. Para garantir que a divergência do campo magnético seja zero ( ), precisamos relacionar e .
Em coordenadas cilíndricas, a divergência é dada por:

Passo 7

Substituindo 1r partial (r Br)partial r + partial (A z)partial z = 0 implies 1r partial (r Br)partial r + A = 0 na equação acima:
partial (r Br)partial r = -A r
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 8

Integrando a equação em relação a r Br = -A2 r^2 + C :
Br = -A r2
Onde é a constante de integração. Assumindo que o campo magnético não é infinito quando , temos . Então:

Passo 9

Agora, substituímos Br = -2,15, mT/cm times 1, cm2 = -2,152, mT = -1,075, mT e :

Resposta

A intensidade da componente radial para é de aproximadamente .

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