M ostre que para n capacitâncias em série, a capacitância equivalente é dada por:

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, quando temos capacitâncias ligadas em série, a capacitância equivalente é dada por:
Vamos resolver esse problema usando conceitos de circuitos em série e propriedades das capacitâncias.

Passo 2

Primeiro, é importante lembrar que em uma ligação em série, a carga ( ) em cada capacitor é a mesma. Isso significa que todos os capacitores armazenam a mesma quantidade de carga.

Passo 3

Sabemos que a capacitância ( ) é definida pela relação:
onde é a carga armazenada e é a diferença de potencial (voltagem) no capacitor.

Passo 4

Em uma conexão em série, a diferença de potencial total ( ) é a soma das diferenças de potencial em cada capacitor individual. Ou seja:

Passo 5

Usando a definição de capacitância para cada capacitor, temos:
Substituindo isso na equação da diferença de potencial total:

Passo 6

Fatorando da equação acima, obtemos:

Passo 7

Definimos a capacitância equivalente ( ) pela relação:
Comparando com a equação que obtivemos no Passo 6:

Passo 8

Dividindo ambos os lados por (assumindo que ):

Resposta

A capacitância equivalente para capacitores em série é:

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