Certa substância radioativa decresce a uma taxa proporcional à quantidade de substância presente. Sabendo-se que, para uma quantidade inicial de 100 mg da substância, observa-se, após dois anos, um decréscimo de 5 %, determine:
a) uma expressão para a quantidade restante após t anos.
b) o tempo necessário para uma redução de 10 % da quantidade inicial.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma substância radioativa que está diminuindo de quantidade de forma proporcional ao que resta dela. Isso é um exemplo de decadência exponencial. A gente vai precisar usar a fórmula da decadência exponencial para resolver as partes a) e b).

Passo 2

Primeiro, vamos entender a fórmula da decadência exponencial. Ela é dada por:
Onde:
  • é a quantidade restante após anos.
  • é a quantidade inicial.
  • é a constante de decaimento que a gente precisa descobrir.
  • é a base do logaritmo natural, aproximadamente igual a 2,718.

Passo 3

Sabemos que a quantidade inicial é 100 mg. Depois de 2 anos, a quantidade diminuiu 5%, ou seja, resta 95 mg. Vamos usar essa informação para encontrar a constante .
Substituindo na fórmula:

Passo 4

Agora, vamos isolar :

Passo 5

Para resolver para , vamos tirar o logaritmo natural de ambos os lados:
Calculando :
Então:

Passo 6

Agora que temos , podemos escrever a expressão para :

Passo 7

Pronto, essa é a expressão para a quantidade restante após anos. Vamos para a parte b).

Passo 8

Queremos saber depois de quanto tempo a quantidade vai reduzir 10% da inicial. Ou seja, queremos que reste 90 mg. Vamos usar a fórmula:

Passo 9

Isolando :

Passo 10

Tirando o logaritmo natural de ambos os lados:
Calculando :
Então:

Resposta

a) A quantidade restante após anos é dada por:
b) O tempo necessário para uma redução de 10 % da quantidade inicial é aproximadamente 4,11 anos.

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