Certa substância radioativa decresce a uma taxa proporcional à quantidade de substância presente. Sabendo-se que, para uma quantidade inicial de 100 mg da substância, observa-se, após dois anos, um decréscimo de
, determine:
a) uma expressão para a quantidade restante após t anos.
b) o tempo necessário para uma redução de
da quantidade inicial.
a) uma expressão para a quantidade restante após t anos.
b) o tempo necessário para uma redução de
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma substância radioativa que está diminuindo de quantidade de forma proporcional ao que resta dela. Isso é um exemplo de decadência exponencial. A gente vai precisar usar a fórmula da decadência exponencial para resolver as partes a) e b).
Passo 2
Primeiro, vamos entender a fórmula da decadência exponencial. Ela é dada por:
Onde:
-
é a quantidade restante após anos. -
é a quantidade inicial. -
é a constante de decaimento que a gente precisa descobrir. -
é a base do logaritmo natural, aproximadamente igual a 2,718.
Passo 3
Sabemos que a quantidade inicial
é 100 mg. Depois de 2 anos, a quantidade diminuiu 5%, ou seja, resta 95 mg. Vamos usar essa informação para encontrar a constante
.
Substituindo na fórmula:
Passo 4
Agora, vamos isolar
:
Passo 5
Para resolver para
, vamos tirar o logaritmo natural de ambos os lados:
Calculando
:
Então:
Passo 6
Agora que temos
, podemos escrever a expressão para
:
Passo 7
Pronto, essa é a expressão para a quantidade restante após
anos. Vamos para a parte b).
Passo 8
Queremos saber depois de quanto tempo a quantidade vai reduzir 10% da inicial. Ou seja, queremos que reste 90 mg. Vamos usar a fórmula:
Passo 9
Isolando
:
Passo 10
Tirando o logaritmo natural de ambos os lados:
Calculando
:
Então:
Resposta
a) A quantidade restante após
anos é dada por:
b) O tempo necessário para uma redução de 10 % da quantidade inicial é aproximadamente 4,11 anos.
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.
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.
(d)
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até
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(d) .
(d)