Encontre o centróide da região delimitada pelos gráficos das equações dadas.
(i) y = x^(2/3), y = 0, y = 8.

Passo 1

Então, temos que encontrar o centróide da região delimitada pelas equações , e . O centróide é como o “centro de massa” dessa região. Para resolver isso, vamos usar cálculo integral para determinar a área da região e as coordenadas e do centróide.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os pontos onde as curvas se interceptam para definir os limites de integração. Sabemos que:
  1. intersecta quando .
  2. intersecta quando .
Calculando :
Então, a região vai de até .

Passo 3

Agora, vamos calcular a área da região. A área sob a curva entre e é dada por:
Integrando :
Simplificando :
Sabendo que :

Passo 4

Vamos agora encontrar a coordenada do centróide. A fórmula para é:
Integrando :
Simplificando :
Então,

Passo 5

Agora, vamos calcular a coordenada do centróide. A fórmula para é:
Integrando :
Simplificando :
Calculando :
Então,

Resposta

O centróide da região delimitada pelas equações , e está aproximadamente em .

Exercícios relacionados

Uma esfera de material volátil perde volume a uma taxa proporcional ao quadrado de sua área de superfície. Sabendo que, no instante t = 0, a esfera tem raio 1 e , em t = 1, a esfera tem raio 1/2, determine o raio r(t) em função do tempo t.
Encontre o centróide da região delimitada pelos gráficos das equações dadas.
(f) y = x^3, y = 0, x = 3.
Certa substância radioativa decresce a uma taxa proporcional à quantidade de substância presente. Sabendo-se que, para uma quantidade inicial de 100 mg da substância, observa-se, após dois anos, um decréscimo de 5 %, determine:
a) uma expressão para a quantidade restante após t anos.
b) o tempo necessário para uma redução de 10 % da quantidade inicial.
Use o método das cascas cilíndricas para encontrar o volume do sólido gerado pela revolução da região limitada pelos gráficos das equações e/ou desigualdades em torno do eixo indicado. Esboce a região e um retângulo representativo.
(d) y = raiz(x - 1), y = 0, x = 5; o eixo y.