Uma esfera de material volátil perde volume a uma taxa proporcional ao quadrado de sua área de superfície. Sabendo que, no instante
, a esfera tem raio 1 e , em
, a esfera tem raio
, determine o raio
em função do tempo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema que envolve uma esfera que está perdendo volume ao longo do tempo. A matéria que vamos usar aqui é de Cálculo Diferencial, mais especificamente Equações Diferenciais. Precisamos relacionar a taxa de mudança do volume da esfera com a área da sua superfície para encontrar uma expressão para o raio
em função do tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos traduzir o enunciado para uma equação matemática. A taxa de variação do volume da esfera em relação ao tempo (
) é proporcional ao quadrado da área da superfície da esfera (
). Isso pode ser escrito como:
Aqui, o sinal negativo indica que o volume está diminuindo, e
é a constante de proporcionalidade que precisamos determinar.
Passo 3
Agora, vamos expressar o volume
e a área da superfície
da esfera em termos do raio
:
Essas fórmulas são fundamentais para relacionar o volume e a área com o raio da esfera.
Passo 4
Substituindo as expressões de
e
na equação diferencial, temos:
Vamos simplificar isso.
Passo 5
Calculando a derivada do volume em relação ao tempo:
Agora, substituindo de volta na equação diferencial:
Simplificando os termos:
Passo 6
Agora temos uma equação diferencial separável. Vamos separar as variáveis
e
:
Integrando ambos os lados:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Vamos resolver para
:
Agora, usamos as condições iniciais para encontrar
e
. Sabemos que:
- Quando
, :
- Quando
, :
Resposta
Substituindo
e
na expressão de
:
Portanto, o raio em função do tempo é:
Exercícios relacionados
Encontre o centróide da região delimitada pelos gráficos das equações dadas.
(f) .
(f)
Seja
Altere uma condição deste problema para que a frequência fundamental da solução passe a ter o valor 10. Faça isso de dois modos diferentes.
Encontre o centróide da região delimitada pelos gráficos das equações dadas.
(i) .
(i)
Certa substância radioativa decresce a uma taxa proporcional à quantidade de substância presente. Sabendo-se que, para uma quantidade inicial de 100 mg da substância, observa-se, após dois anos, um decréscimo de
, determine:
a) uma expressão para a quantidade restante após t anos.
b) o tempo necessário para uma redução de da quantidade inicial.
a) uma expressão para a quantidade restante após t anos.
b) o tempo necessário para uma redução de