Uma esfera de material volátil perde volume a uma taxa proporcional ao quadrado de sua área de superfície. Sabendo que, no instante t = 0, a esfera tem raio 1 e , em t = 1, a esfera tem raio 1/2, determine o raio r(t) em função do tempo t.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema que envolve uma esfera que está perdendo volume ao longo do tempo. A matéria que vamos usar aqui é de Cálculo Diferencial, mais especificamente Equações Diferenciais. Precisamos relacionar a taxa de mudança do volume da esfera com a área da sua superfície para encontrar uma expressão para o raio em função do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos traduzir o enunciado para uma equação matemática. A taxa de variação do volume da esfera em relação ao tempo ( ) é proporcional ao quadrado da área da superfície da esfera ( ). Isso pode ser escrito como:
Aqui, o sinal negativo indica que o volume está diminuindo, e é a constante de proporcionalidade que precisamos determinar.

Passo 3

Agora, vamos expressar o volume e a área da superfície da esfera em termos do raio :
Essas fórmulas são fundamentais para relacionar o volume e a área com o raio da esfera.

Passo 4

Substituindo as expressões de e na equação diferencial, temos:
Vamos simplificar isso.

Passo 5

Calculando a derivada do volume em relação ao tempo:
Agora, substituindo de volta na equação diferencial:
Simplificando os termos:

Passo 6

Agora temos uma equação diferencial separável. Vamos separar as variáveis e :
Integrando ambos os lados:
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Vamos resolver para :
Agora, usamos as condições iniciais para encontrar e . Sabemos que:
  • Quando , :
  • Quando , :

Resposta

Substituindo e na expressão de :
Portanto, o raio em função do tempo é:

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