Em certas situações, surge um sinal senoidal como perturbação de entrada
. Verifique se o sistema converge para um erro fixo neste caso. Convergindo ou não, desenhe a resposta da saída
em regime permanente para perturbações deste tipo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um sistema que recebe uma perturbação de entrada na forma de um sinal senoidal, especificamente
. Nosso objetivo é verificar se o sistema consegue convergir para um erro fixo quando recebe esse tipo de entrada. Além disso, precisamos desenhar como fica a saída
do sistema no estado permanente quando tem essa perturbação. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre sistemas dinâmicos, resposta a sinais senoidais e conceitos de estabilidade.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa o sistema convergir para um erro fixo. Em termos simples, isso quer dizer que, após um tempo suficiente, a diferença entre a saída desejada e a real do sistema (o erro) se estabiliza em um valor constante. Para verificar isso, precisamos analisar como o sistema responde a uma entrada senoidal.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre resposta a sinais senoidais. Em sistemas lineares e invariantes no tempo (SIST), uma entrada senoidal gera uma saída também senoidal, mas com possível alteração na amplitude e na fase. Isso acontece devido às propriedades desses sistemas que preservam a forma dos sinais senoidais.
Passo 4
Para verificar se o sistema converge para um erro fixo, precisamos analisar a estabilidade do mesmo. Um sistema estável se, para qualquer entrada limitada, a saída também é limitada e tende a uma condição estável ao longo do tempo. No caso de uma entrada senoidal, se o sistema for estável, a saída senoidal alcança um estado permanente sem crescimento ou decaimento excessivo.
Passo 5
Agora, vamos desenhar a resposta da saída
no estado permanente. Sabendo que a entrada é
e assumindo que o sistema é linear e estável, a saída também será uma senóide da mesma frequência (3 rad/s), mas com uma amplitude e fase possivelmente diferentes. O gráfico de
será, portanto, uma onda senoidal constante em amplitude e fase após o tempo suficiente para atingir o estado permanente.
Resposta
Sim, o sistema converge para um erro fixo quando recebe a perturbação
. A saída no regime permanente será uma senóide com a mesma frequência da entrada, ou seja,
seguirá uma forma senoidal estável após um tempo suficiente.