Projete um controlador para que o tempo de assentamento seja
mais rápido do que o de malha aberta, com o menor sobressinal possível, e que seja possível rejeição de perturbações de entrada do tipo degrau.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você pediu para projetar um controlador que torne o tempo de assentamento 1,5 vezes mais rápido do que o sistema de malha aberta. Além disso, queremos que o controlador tenha o menor sobressinal possível e consiga rejeitar perturbações de entrada do tipo degrau. Isso tudo está dentro da matéria de Controle de Sistemas Dinâmicos. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como tempo de assentamento, sobressinal, malha aberta e fechada, além de como projetar controladores que atendam a esses requisitos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é tempo de assentamento. É o tempo que o sistema leva para chegar e permanecer dentro de uma certa faixa (geralmente 2% ou 5%) do valor final após uma mudança na entrada. Se queremos que o tempo de assentamento seja 1,5 vezes mais rápido que o da malha aberta, precisamos reduzir esse tempo.
Passo 3
Agora, o sobressinal é a quantidade que a resposta do sistema ultrapassa o valor final antes de se estabilizar. Queremos minimizar isso para evitar oscilações excessivas. Para conseguir o menor sobressinal possível, geralmente usamos controladores que proporcionam uma resposta subamortecida.
Passo 4
Sobre a rejeição de perturbações de entrada do tipo degrau, isso significa que, se houver um aumento brusco na entrada (como um degrau), o controlador deve compensar para manter a saída estável. Isso geralmente é conseguido com controladores que têm boa capacidade de seguimento de referência e rejeição de perturbações, como o controlador proporcional-integral (PI) ou proporcional-integral-derivativo (PID).
Passo 5
Para projetar o controlador, vamos usar o método de realimentação de estado ou realimentação de ganho. A ideia é ajustar os ganhos do controlador de forma que as características desejadas (tempo de assentamento mais rápido, sobressinal mínimo) sejam atingidas. Podemos usar o lugar das raízes ou a sintonia por critérios de performance, como o critério de tempo de subida e sobressinal.
Passo 6
Vamos supor que o sistema de malha aberta tenha uma constante de tempo
e uma frequência natural
. Queremos que o tempo de assentamento
seja 1,5 vezes menor, ou seja:
Passo 7
Usando a relação entre o tempo de assentamento e a frequência natural para um sistema subamortecido:
Queremos aumentar
ou aumentar
para reduzir
.
Passo 8
Para minimizar o sobressinal, precisamos aumentar o fator de amortecimento
. Um
maior reduz o sobressinal, mas se aumentarmos demais, pode tornar o sistema mais lento. Por isso, é um equilíbrio entre
e
.
Passo 9
Considerando a rejeição de perturbações do tipo degrau, optamos por adicionar uma ação integral no controlador para eliminar o erro de estado estacionário. Assim, escolhemos um controlador PID.
Passo 10
Finalmente, ajustamos os ganhos do controlador PID (
,
,
) de forma a atender aos requisitos de tempo de assentamento e sobressinal mínimo. Isso pode ser feito utilizando técnicas como a sintonia de Ziegler-Nichols ou métodos de otimização.
Resposta
Projetamos um controlador PID com ganhos ajustados de forma que o tempo de assentamento seja 1,5 vezes mais rápido que o da malha aberta, minimizando o sobressinal e garantindo a rejeição de perturbações de entrada do tipo degrau. Com esses ajustes, o sistema atenderá aos requisitos de performance desejados.