Um certo elétron livre
é descrito pela função de onda espacial
na qual
é uma constante. (a) Determine a energia deste elétron. (b) Determine seu momento linear. © Determine seu comprimento de onda de de Broglie. Dica: Use a equação de Schrödinger independente do tempo para resolver o item (a) e os demais itens seguem de definições conhecidas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um elétron livre com potencial
, e a função de onda dele é dada por:
A gente precisa determinar três coisas:
a) A energia desse elétron.
b) O momento linear dele.
c) O comprimento de onda de de Broglie.
a) A energia desse elétron.
b) O momento linear dele.
c) O comprimento de onda de de Broglie.
Para resolver isso, vamos usar a equação de Schrödinger independente do tempo para a parte (a). Depois, para as partes (b) e ©, vamos usar as definições básicas de momento linear e comprimento de onda de de Broglie.
Passo 2
Vamos começar com a parte (a): determinar a energia do elétron usando a equação de Schrödinger independente do tempo. A equação geral para um elétron livre (onde o potencial
) é:
Aqui:
-
é a constante de Planck reduzida. -
é a massa do elétron. -
é a energia do elétron. -
é a função de onda.
Passo 3
Primeiro, vamos calcular a segunda derivada da função de onda
:
Derivando uma vez:
Derivando novamente para a segunda derivada:
Passo 4
Substituindo a segunda derivada na equação de Schrödinger:
Simplificando:
Como
, podemos dividir os dois lados por
:
Passo 5
Agora, vamos calcular numericamente. Sabendo que:
-
- Massa do elétron
Substituindo esses valores:
Fazendo os cálculos:
Passo 6
Convertendo a energia para elétron-volts (eV), sabendo que
:
Passo 7
Agora, vamos para a parte (b): determinar o momento linear do elétron. A relação entre o momento linear
e o número de onda
é:
Onde
é o número de onda, que está dentro da função de onda
.
Passo 8
Observando a função de onda:
Podemos identificar que:
Então, o momento linear
é:
Substituindo
:
Passo 9
Finalmente, para a parte ©: calcular o comprimento de onda de de Broglie. A relação é:
Onde
é a constante de Planck (
) e
é o momento linear que já calculamos.
Passo 10
Substituindo os valores:
Resposta
(a) A energia do elétron é aproximadamente
.
(b) O momento linear do elétron é .
© O comprimento de onda de de Broglie do elétron é .
(b) O momento linear do elétron é
© O comprimento de onda de de Broglie do elétron é