Um certo elétron livre (V=0) é descrito pela função de onda espacial
psi(x)=A sin (2,5 times 10^10 x)
na qual A é uma constante. (a) Determine a energia deste elétron. (b) Determine seu momento linear. © Determine seu comprimento de onda de de Broglie. Dica: Use a equação de Schrödinger independente do tempo para resolver o item (a) e os demais itens seguem de definições conhecidas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um elétron livre com potencial V = 0, e a função de onda dele é dada por:
psi(x) = A sin(2,5 times 10^10 x)
A gente precisa determinar três coisas:
a) A energia desse elétron.
b) O momento linear dele.
c) O comprimento de onda de de Broglie.
Para resolver isso, vamos usar a equação de Schrödinger independente do tempo para a parte (a). Depois, para as partes (b) e ©, vamos usar as definições básicas de momento linear e comprimento de onda de de Broglie.

Passo 2

Vamos começar com a parte (a): determinar a energia do elétron usando a equação de Schrödinger independente do tempo. A equação geral para um elétron livre (onde o potencial V = 0) é:
-hbar^22m d^2psi(x)dx^2 = Epsi(x)
Aqui:
  • hbar é a constante de Planck reduzida.
  • m é a massa do elétron.
  • E é a energia do elétron.
  • psi(x) é a função de onda.

Passo 3

Primeiro, vamos calcular a segunda derivada da função de onda psi(x):
psi(x) = A sin(2,5 times 10^10 x)
Derivando uma vez:
dpsidx = A cdot 2,5 times 10^10 cos(2,5 times 10^10 x)
Derivando novamente para a segunda derivada:
d^2psidx^2 = -A cdot (2,5 times 10^10)^2 sin(2,5 times 10^10 x) = -(2,5 times 10^10)^2 psi(x)

Passo 4

Substituindo a segunda derivada na equação de Schrödinger:
-hbar^22m (-(2,5 times 10^10)^2 psi(x)) = Epsi(x)
Simplificando:
hbar^22m (2,5 times 10^10)^2 psi(x) = Epsi(x)
Como psi(x) neq 0, podemos dividir os dois lados por psi(x):
E = hbar^22m (2,5 times 10^10)^2

Passo 5

Agora, vamos calcular numericamente. Sabendo que:
  • hbar approx 1,0545718 times 10^-34 J·s
  • Massa do elétron m approx 9,10938356 times 10^-31 kg
Substituindo esses valores:
E = (1,0545718 times 10^-34)^22 times 9,10938356 times 10^-31 times (2,5 times 10^10)^2
Fazendo os cálculos:
E approx 1,112121 times 10^-681,8218767 times 10^-30 times 6,25 times 10^20
E approx 6,0996 times 10^-39 times 6,25 times 10^20 = 3,81225 times 10^-18 J

Passo 6

Convertendo a energia para elétron-volts (eV), sabendo que 1 eV = 1,602 times 10^-19 J:
E approx 3,81225 times 10^-181,602 times 10^-19 approx 23,8 eV

Passo 7

Agora, vamos para a parte (b): determinar o momento linear do elétron. A relação entre o momento linear p e o número de onda k é:
p = hbar k
Onde k é o número de onda, que está dentro da função de onda psi(x).

Passo 8

Observando a função de onda:
psi(x) = A sin(2,5 times 10^10 x)
Podemos identificar que:
k = 2,5 times 10^10 m^-1
Então, o momento linear p é:
p = hbar times 2,5 times 10^10
Substituindo hbar:
p = 1,0545718 times 10^-34 J·s times 2,5 times 10^10 m^-1 approx 2,6364 times 10^-24 kg·m/s

Passo 9

Finalmente, para a parte ©: calcular o comprimento de onda de de Broglie. A relação é:
lambda = hp
Onde h é a constante de Planck ( h = 6,62607015 times 10^-34 J·s) e p é o momento linear que já calculamos.

Passo 10

Substituindo os valores:
lambda = 6,62607015 times 10^-342,6364 times 10^-24 approx 2,517 times 10^-10 m = 2,517 Å Å

Resposta

(a) A energia do elétron é aproximadamente 23,8 eV.
(b) O momento linear do elétron é 2,6364 times 10^-24 kg·m/s.
© O comprimento de onda de de Broglie do elétron é 2,517 ÅÅ.

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