Um elétron tem o número quântico um poço de potencial infinito de largura L. a) Mostre que a probabilidade de encontrar o elétron entre e é exatamente igual a . b) Calcule a probabilidade de encontrar o elétron na região em .
Passo 1
Vamos resolver um exercício de mecânica quântica sobre um elétron em um poço de potencial infinito. O número quântico principal é e a largura do poço é . Precisamos calcular:
a) A probabilidade de encontrar o elétron entre e , que deve ser .
b) A probabilidade de encontrar o elétron em uma região em .
Para isso, vamos precisar usar a função de onda do elétron no poço infinito e calcular as integrais de probabilidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a função de onda para um elétron em um poço de potencial infinito. A função de onda para o estado é dada por:
Passo 3
A probabilidade de encontrar o elétron em uma certa região é obtida pelo módulo ao quadrado da função de onda, ou seja, , e então integrando isso sobre a região de interesse.
Então, a densidade de probabilidade é:
Passo 4
Para a parte a), queremos a probabilidade entre e . Então, vamos integrar nessa região:
Passo 5
Vamos simplificar a integral usando a identidade trigonométrica . Aplicando isso:
Passo 6
Integrando termo a termo:
A primeira integral é simplesmente avaliado de a , e a segunda integral é:
onde .
Passo 7
Calculando as integrais:
Como n=5, sin(8 cdot 5 pi) = sin(40pi) = 0 e sin(4 cdot 5 pi) = sin(20pi) = 0, então a segunda integral é zero.
Passo 8
Portanto, a probabilidade fica:
P = 1L [ 0,2L - 0 ] = 0,2 = 15
Resposta
a) A probabilidade de encontrar o elétron entre x=0,2 L e x=0,4 L é exatamente 15.
b) A probabilidade de encontrar o elétron na região De em x=0,2 L é 15.