Um elétron tem o número quântico n=5 em um poço de potencial infinito de largura L. a) Mostre que a probabilidade de encontrar o elétron entre x=0,2 L e x=0,4 L é exatamente igual a 1 / 5. b) Calcule a probabilidade de encontrar o elétron na região De em x=0,2 L.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de mecânica quântica sobre um elétron em um poço de potencial infinito. O número quântico principal é n=5 e a largura do poço é L. Precisamos calcular:
a) A probabilidade de encontrar o elétron entre x=0,2 L e x=0,4 L, que deve ser 1/5.
b) A probabilidade de encontrar o elétron em uma região De em x=0,2 L.
Para isso, vamos precisar usar a função de onda do elétron no poço infinito e calcular as integrais de probabilidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a função de onda para um elétron em um poço de potencial infinito. A função de onda psin(x) para o estado n é dada por:
psin(x) = raiz2L sin(npi xL)

Passo 3

A probabilidade de encontrar o elétron em uma certa região é obtida pelo módulo ao quadrado da função de onda, ou seja, |psin(x)|^2, e então integrando isso sobre a região de interesse.
Então, a densidade de probabilidade é:
|psin(x)|^2 = (raiz2L sin(npi xL))^2 = 2L sin^2(npi xL)

Passo 4

Para a parte a), queremos a probabilidade entre x=0,2 L e x=0,4 L. Então, vamos integrar |psin(x)|^2 nessa região:
P = integral0,2L^0,4L 2L sin^2(npi xL) dx

Passo 5

Vamos simplificar a integral usando a identidade trigonométrica sin^2(theta) = 1 - cos(2theta)2. Aplicando isso:
P = integral0,2L^0,4L 2L cdot 1 - cos(2npi xL)2 dx = 1L integral0,2L^0,4L [1 - cos(2npi xL)] dx

Passo 6

Integrando termo a termo:
P = 1L [ integral0,2L^0,4L 1 , dx - integral0,2L^0,4L cos(2npi xL) dx ]
A primeira integral é simplesmente x avaliado de 0,2L a 0,4L, e a segunda integral é:
integral cos(ax) dx = sin(ax)a
onde a = 2npiL.

Passo 7

Calculando as integrais:
integral0,2L^0,4L 1 , dx = 0,4L - 0,2L = 0,2L
integral0,2L^0,4L cos(2npi xL) dx = sin(2npi xL)2npiL|0,2L^0,4L = L2npi [ sin(8npi) - sin(4npi) ]
Como n=5, sin(8 cdot 5 pi) = sin(40pi) = 0 e sin(4 cdot 5 pi) = sin(20pi) = 0, então a segunda integral é zero.

Passo 8

Portanto, a probabilidade fica:
P = 1L [ 0,2L - 0 ] = 0,2 = 15

Resposta

a) A probabilidade de encontrar o elétron entre x=0,2 L e x=0,4 L é exatamente 15.
b) A probabilidade de encontrar o elétron na região De em x=0,2 L é 15.

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