As coordenadas de um corpo que se move no plano x y são x=2 sin (omega t) e y=2 cos (omega t). Deste modo: Calcule o valor da velocidade em um instante qualquer.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem as coordenadas de um corpo que está se movendo no plano xy, dadas por x = 2 sin (omega t) e y = 2 cos (omega t). Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a velocidade desse corpo em qualquer instante de tempo. Para isso, vamos precisar saber sobre derivadas, que nos ajudam a encontrar como as posições mudam ao longo do tempo, e a fórmula da velocidade que envolve essas derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a velocidade de um objeto em movimento é uma medida de quão rápido e em qual direção ele está se movendo. Matematicamente, ela é dada pela derivada das coordenadas em relação ao tempo. Então, vamos calcular as derivadas de x e y em relação a t.

Passo 3

Vamos começar derivando x em relação a t:
x = 2 sin (omega t) dxdt = 2 omega cos (omega t)
Aqui usamos a regra da cadeia para derivar sin (omega t), que nos dá $ \omega \cos (\omega t)$, e multiplicamos pelo coeficiente 2.

Passo 4

Agora, vamos derivar y em relação a t:
y = 2 cos (omega t) dydt = -2 omega sin (omega t)
Novamente, aplicamos a regra da cadeia. A derivada de cos (omega t) é - omega sin (omega t), e multiplicamos pelo 2.

Passo 5

Com as derivadas em mãos, temos os componentes da velocidade nas direções x e y:
vx = dxdt = 2 omega cos (omega t) vy = dydt = -2 omega sin (omega t)
Agora, precisamos achar a velocidade total, que é a magnitude do vetor velocidade. Para isso, usamos a fórmula:
v = raizvx^2 + vy^2

Passo 6

Vamos calcular isso:
v = raiz(2 omega cos (omega t))^2 + (-2 omega sin (omega t))^2 v = raiz4 omega^2 cos^2 (omega t) + 4 omega^2 sin^2 (omega t) v = raiz4 omega^2 (cos^2 (omega t) + sin^2 (omega t))
Sabemos que cos^2 (theta) + sin^2 (theta) = 1, então:

Passo 7

Simplificando a expressão:
v = raiz4 omega^2 cdot 1 v = raiz4 omega^2 v = 2 omega

Resposta

A velocidade do corpo em qualquer instante é v = 2,omega.

Exercícios relacionados