As coordenadas de um corpo que se move no plano
são
e
. Deste modo: Calcule o valor da velocidade em um instante qualquer.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem as coordenadas de um corpo que está se movendo no plano
, dadas por
e
. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a velocidade desse corpo em qualquer instante de tempo. Para isso, vamos precisar saber sobre derivadas, que nos ajudam a encontrar como as posições mudam ao longo do tempo, e a fórmula da velocidade que envolve essas derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a velocidade de um objeto em movimento é uma medida de quão rápido e em qual direção ele está se movendo. Matematicamente, ela é dada pela derivada das coordenadas em relação ao tempo. Então, vamos calcular as derivadas de
e
em relação a
.
Passo 3
Vamos começar derivando
em relação a
:
Aqui usamos a regra da cadeia para derivar
, que nos dá $ \omega \cos (\omega t)$, e multiplicamos pelo coeficiente 2.
Passo 4
Agora, vamos derivar
em relação a
:
Novamente, aplicamos a regra da cadeia. A derivada de
é
, e multiplicamos pelo 2.
Passo 5
Com as derivadas em mãos, temos os componentes da velocidade nas direções
e
:
Agora, precisamos achar a velocidade total, que é a magnitude do vetor velocidade. Para isso, usamos a fórmula:
Passo 6
Vamos calcular isso:
Sabemos que
, então:
Passo 7
Simplificando a expressão:
Resposta
A velocidade do corpo em qualquer instante é
.