Um certo gás segue a equação de van der Waals com a=0,50 m^6 Pa mol^-2. O seu volume molar é de 4,00 times 10^-4 m^3 mol^-1 a 288 K e 3,0 MPa. Com essa informação, calcule a constante b de van der Waals para esse gás. Qual o fator de compressibilidade (Z) do gás nessas condições de temperatura e pressão?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um gás que segue a equação de van der Waals, que é uma versão mais realista da equação dos gases ideais. A gente vai precisar calcular duas coisas:
  1. Constante de van der Waals.
  2. Fator de compressibilidade nas condições dadas.
Pra isso, vamos usar a informação que nos deram: o valor de , o volume molar ( ), a temperatura ( ) e a pressão ( ).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a equação de van der Waals:
( P + aVm^2 ) (Vm - b) = R T
Onde:
  • é a pressão,
  • é o volume molar,
  • é a temperatura,
  • é a constante dos gases (8,314 J/mol·K),
  • e são constantes específicas do gás.
A gente já tem , , , e , então nossa missão é achar .

Passo 3

Vamos isolar P Vm - P b + aVm - a bVm^2 = R T na equação. Primeiro, vamos expandir a equação de van der Waals:
P Vm - P b + aVm approx R T
Mas como P b = P Vm + aVm - R T é uma constante pequena, o termo b = P Vm + aVm - R TP é muito pequeno e pode ser desprezado para simplificar nossos cálculos. Assim, a equação fica:
Agora, vamos reorganizar para resolver :

Passo 4

Vamos agora substituir os valores que temos na equação para encontrar b = (3,0 times 10^6 , Pa) times (4,00 times 10^-4 , m^3/mol) + 0,50 , m^6 Pa mol^-24,00 times 10^-4 , m^3/mol - (8,314 , J/mol·K) times 288 , K3,0 times 10^6 , Pa :
  • Pa
  • m³/mol
  • m⁶ Pa mol⁻²
  • K
  • J/mol·K
Substituindo na equação:

Passo 5

Vamos calcular cada parte separadamente:
  1. 3,0 times 10^6 , Pa times 4,00 times 10^-4 , m^3/mol = 1,2 times 10^3 , J/mol :
0,50 , m^6 Pa mol^-24,00 times 10^-4 , m^3/mol = 1,25 times 10^3 , J/mol
  1. 8,314 , J/mol·K times 288 , K = 2,393 times 10^3 , J/mol :
  1. :

Passo 6

Agora, substituímos esses valores de volta na equação para b = 1,2 times 10^3 , J/mol + 1,25 times 10^3 , J/mol - 2,393 times 10^3 , J/mol3,0 times 10^6 , Pa :
b = (1,2 + 1,25 - 2,393) times 10^3 , J/mol3,0 times 10^6 , Pa
b = 0,057 times 10^3 , J/mol3,0 times 10^6 , Pa
b approx 1,9 times 10^-5 , m^3/mol

Passo 7

Agora que temos Z = P VmR T , vamos calcular o fator de compressibilidade Z = 3,0 times 10^6 , Pa times 4,00 times 10^-4 , m^3/mol8,314 , J/mol·K times 288 , K , que é dado por:
Substituindo os valores:

Passo 8

Calculando:
Z = 1,2 times 10^3 , J/mol2,393 times 10^3 , J/mol approx 0,502

Resposta

A constante de van der Waals para esse gás é aproximadamente e o fator de compressibilidade nas condições dadas é aproximadamente 0,502.

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