Num certo instante num circuito L C oscilante, quatro quintos da energia total estão armazenados no campo magnético do indutor. Calcule: (a) a carga no capacitor nesse instante, em termos de carga máxima no capacitor. (b) a corrente no indutor nesse instante, em termos da corrente máxima no indutor.

Passo 1

Então, o que a questão está nos dizendo? Temos um circuito oscilante formado por um indutor ( L) e um capacitor ( C). Em um certo momento, quatro quintos da energia total desse circuito estão armazenados no campo magnético do indutor. Precisamos calcular duas coisas:
a) A carga no capacitor nesse instante, em termos da carga máxima que o capacitor atinge.
b) A corrente no indutor nesse instante, em termos da corrente máxima que o indutor atinge.
Para resolver isso, vamos precisar entender como a energia se distribui entre o indutor e o capacitor em um circuito oscilante, e como isso se relaciona com as cargas e correntes máximas nesses componentes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em um circuito LC oscilante, a energia total do sistema oscila entre o campo magnético do indutor e o campo elétrico do capacitor, mas a energia total permanece constante. Isso significa que a soma das energias armazenadas no indutor ( UL) e no capacitor ( UC) é igual à energia total ( Utotal):
Utotal = UL + UC

Passo 3

De acordo com o enunciado, quatro quintos da energia total estão armazenados no campo magnético do indutor. Então, podemos escrever:
UL = 45 Utotal
Isso implica que a energia no capacitor é o restante, ou seja:
UC = Utotal - UL = Utotal - 45 Utotal = 15 Utotal

Passo 4

Sabemos que a energia armazenada no capacitor está relacionada à carga ( q) e à capacitância ( C) pela fórmula:
UC = q^22C
E a energia total quando o capacitor está na carga máxima ( Qmax) é:
Utotal = Qmax^22C

Passo 5

Como encontramos que UC = 15 Utotal, podemos substituir as expressões de energia:
q^22C = 15 cdot Qmax^22C
Podemos cancelar 12C dos dois lados:
q^2 = 15 Qmax^2
Tomando a raiz quadrada dos dois lados para encontrar q:
q = Qmaxraiz5

Passo 6

Agora, para encontrar a corrente no indutor, lembramos que a energia armazenada no indutor está relacionada à corrente ( I) e à indutância ( L) pela fórmula:
UL = L I^22
E a energia total quando a corrente está na máxima ( Imax) é:
Utotal = L Imax^22

Passo 7

Sabemos que UL = 45 Utotal, então:
L I^22 = 45 cdot L Imax^22
Pode-se cancelar L2 dos dois lados:
I^2 = 45 Imax^2
Tomando a raiz quadrada dos dois lados para encontrar I:
I = 2 Imaxraiz5

Resposta

a) A carga no capacitor nesse instante é q = dfracQmaxraiz5.
b) A corrente no indutor nesse instante é I = dfrac2,Imaxraiz5.

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