O pêndulo de um relógio tem um período de 2 s em um local onde
. De quanto estará atrasado o relógio, após 24 h , se for colocado num local onde
? Qual deveria ser o comprimento do pêndulo, a fim de manter o período correto na nova posição?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um pêndulo de relógio que tem um período de 2 segundos em um lugar onde a aceleração da gravidade
. Queremos descobrir quanto o relógio vai atrasar depois de 24 horas se movê-lo para um lugar onde
. Além disso, precisamos achar o comprimento do pêndulo para manter o período de 2 segundos nessa nova localização. Vamos precisar usar a fórmula do período do pêndulo e entender como a gravidade e o comprimento influenciam esse período.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula do período
de um pêndulo simples:
Aqui,
é o comprimento do pêndulo e
é a aceleração da gravidade. Essa fórmula nos mostra que o período depende tanto do comprimento do pêndulo quanto da gravidade do local.
Passo 3
Vamos calcular o período
do pêndulo no novo local onde
. Sabemos que inicialmente
segundos quando
.
Podemos relacionar os dois períodos usando a fórmula:
Substituindo os valores:
Calculando o lado direito:
Então,
Passo 4
Agora, vamos encontrar a diferença no período:
Isso significa que a cada oscilação, o pêndulo atrasa aproximadamente 0,00512 segundos.
Passo 5
Para descobrir o atraso total após 24 horas, primeiro precisamos saber quantas oscilações o pêndulo faz nesse tempo. Sabemos que em um segundo o pêndulo oscila
vezes. Então, em 24 horas:
Número de oscilações:
Agora, multiplicamos o atraso por oscilação pelo número de oscilações:
Convertendo para minutos:
Passo 6
Agora, vamos achar o novo comprimento
do pêndulo para que o período continue sendo 2 segundos no local com
. Usamos novamente a fórmula do período:
Queremos que
segundos, então:
Dividindo ambos os lados por
:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Multiplicando ambos os lados por
:
Resposta
Após 24 horas, o relógio estará atrasado aproximadamente 3 minutos e 41 segundos. Para manter o período correto de 2 segundos nessa nova localização, o comprimento do pêndulo deve ser de aproximadamente 0,988 metros.