O pêndulo de um relógio tem um período de 2 s em um local onde g=9,80 m / s^2. De quanto estará atrasado o relógio, após 24 h , se for colocado num local onde g= 9,75 m / s^2 ? Qual deveria ser o comprimento do pêndulo, a fim de manter o período correto na nova posição?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um pêndulo de relógio que tem um período de 2 segundos em um lugar onde a aceleração da gravidade . Queremos descobrir quanto o relógio vai atrasar depois de 24 horas se movê-lo para um lugar onde . Além disso, precisamos achar o comprimento do pêndulo para manter o período de 2 segundos nessa nova localização. Vamos precisar usar a fórmula do período do pêndulo e entender como a gravidade e o comprimento influenciam esse período.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula do período T = 2pi raizLg de um pêndulo simples:
Aqui, é o comprimento do pêndulo e é a aceleração da gravidade. Essa fórmula nos mostra que o período depende tanto do comprimento do pêndulo quanto da gravidade do local.

Passo 3

Vamos calcular o período T'T = raizgg' do pêndulo no novo local onde T'2 = raiz9,809,75 . Sabemos que inicialmente T'2 = raiz1,005128 approx 1,00256 segundos quando T' approx 2 times 1,00256 approx 2,00512 segundos .
Podemos relacionar os dois períodos usando a fórmula:
Substituindo os valores:
Calculando o lado direito:
Então,

Passo 4

Agora, vamos encontrar a diferença no período:
Deçã
Isso significa que a cada oscilação, o pêndulo atrasa aproximadamente 0,00512 segundos.

Passo 5

Para descobrir o atraso total após 24 horas, primeiro precisamos saber quantas oscilações o pêndulo faz nesse tempo. Sabemos que em um segundo o pêndulo oscila 24 horas = 24 times 3600 = 86400 segundos vezes. Então, em 24 horas:
N = 864002 = 43200 oscilações
Número de oscilações:
Atraso total = 43200 times 0,00512 approx 220,70 segundos çõ
Agora, multiplicamos o atraso por oscilação pelo número de oscilações:
220,70 segundos approx 3 minutos e 40,7 segundos
Convertendo para minutos:

Passo 6

Agora, vamos achar o novo comprimento T = 2pi raizL'g' do pêndulo para que o período continue sendo 2 segundos no local com 2 = 2pi raizL'9,75 . Usamos novamente a fórmula do período:
22pi = raizL'9,75
Queremos que 1pi = raizL'9,75 segundos, então:
(1pi)^2 = L'9,75
Dividindo ambos os lados por 1pi^2 = L'9,75 :
L' = 9,75pi^2 approx 9,759,8696 approx 0,988 metros
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Multiplicando ambos os lados por :

Resposta

Após 24 horas, o relógio estará atrasado aproximadamente 3 minutos e 41 segundos. Para manter o período correto de 2 segundos nessa nova localização, o comprimento do pêndulo deve ser de aproximadamente 0,988 metros.

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