Certo planeta possui dois satélites naturais: Lua A e Lua B; o planeta gira em torno do sol. O alinhamento do sol-planeta lua A ocorre a cada 18 anos, e o sol-planeta lua B ocorre a cada 48 anos. Se hoje ocorrer o alinhamento do sol-planeta lua A e lua B, então este fenômeno se repetirá daqui a quantos anos?

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está nos perguntando. Temos um planeta com dois satélites naturais, a Lua A e a Lua B, que orbitam ao redor desse planeta que, por sua vez, gira ao redor do sol. Sabemos que o alinhamento sol-planeta-Lua A acontece a cada 18 anos e o alinhamento sol-planeta-Lua B acontece a cada 48 anos. A pergunta é: se hoje ambos os alinhamentos estão ocorrendo juntos, daqui a quantos anos isso vai acontecer novamente?
Para resolver esse problema, vamos explorar o conteúdo de Mínimo Múltiplo Comum (MMC), que é uma ferramenta matemática usada para encontrar o menor número que é múltiplo comum de dois ou mais números. Isso nos ajudará a determinar em quantos anos ambos os alinhamentos ocorrerão simultaneamente novamente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o Mínimo Múltiplo Comum (MMC). O MMC de dois números é o menor número que é múltiplo de ambos. No contexto do problema, queremos encontrar o menor número de anos após os quais os dois alinhamentos (a cada 18 e 48 anos) irão coincidir novamente.

Passo 3

Para encontrar o MMC de 18 e 48, podemos fatorar cada número em seus fatores primos:
  • $ 18 = 2 \times 3 \times 3 $ ou $ 2 \times 3^2 $
  • $ 48 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 $ ou $ 2^4 \times 3 $

Passo 4

O próximo passo é identificar os fatores primos comuns e não comuns, escolhendo o maior expoente para cada fator:
  • Para o fator 2, o maior expoente é 4 (de 48).
  • Para o fator 3, o maior expoente é 2 (de 18).

Passo 5

Agora, multiplicamos esses fatores com seus maiores expoentes para encontrar o MMC:
MMC = 2^4 times 3^2 = 16 times 9 = 144

Resposta

Portanto, o alinhamento sol-planeta-Lua A e Lua B se repetirá daqui a 144 anos.

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