Um certo tipo de receptor de rádio FM requer um sinal de rádio mínimo com um campo elétrico de raiz quadrada média de magnitude 1.2 times 10^-2 N / C para operar. Uma estação de rádio transmitindo seu sinal eletromagnético tem uma potência média de 100 kW . A que distância da estação este receptor pode ser usado?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma questão que envolve ondas eletromagnéticas e rádio FM. Basicamente, o problema nos diz que um receptor de rádio precisa de um certo campo elétrico mínimo para funcionar e também nos informa a potência transmitida pela estação de rádio. O que precisamos descobrir é a que distância dessa estação o receptor ainda consegue captar o sinal. Para resolver isso, vamos usar conceitos de propagação de ondas eletromagnéticas e a relação entre potência, campo elétrico e distância.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a relação entre a potência transmitida ( S = P4pi r^2 ), o campo elétrico ( ) e a distância ( ). Em uma propagação radial das ondas eletromagnéticas, a potência se espalha uniformemente em todas as direções, formando uma esfera com área . A densidade de potência ( ), que é a potência por unidade de área, é dada por:

Passo 3

Agora, sabemos que a densidade de potência ( S = E^22Z0 ) também está relacionada ao campo elétrico ( ) pela seguinte fórmula:
onde é a impedância do vácuo, que vale aproximadamente .

Passo 4

Vamos igualar as duas expressões para P4pi r^2 = E^22Z0 :
Nosso objetivo é encontrar , então vamos isolar nessa equação.

Passo 5

Primeiro, multiplique ambos os lados por P = E^22Z0 times 4pi r^2 :
P = 2pi E^2 r^2Z0
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos isolar r^2 = P Z02pi E^2 :
r = raizP Z02pi E^2
E depois tirar a raiz quadrada para encontrar :

Passo 7

Vamos substituir os valores conhecidos. Primeiro, precisamos garantir que as unidades estejam corretas. A potência r = raiz100 times 10^3, W times 377, Omega2pi times (1.2 times 10^-2, N/C)^2 é 100 kW, ou seja, . O campo elétrico mínimo é . E é .
Substituindo na equação:

Passo 8

Vamos calcular passo a passo:
Primeiro, calcule o denominador:
2pi times (1.2 times 10^-2)^2 = 2 times 3.1416 times 1.44 times 10^-4 approx 9.05 times 10^-4
Agora, o numerador:
100 times 10^3 times 377 = 3.77 times 10^7
Então:
r = raiz3.77 times 10^79.05 times 10^-4 = raiz4.162 times 10^10 approx 6.45 times 10^5, metros

Resposta

O receptor de rádio pode ser usado a uma distância máxima de aproximadamente metros (ou 645 quilômetros) da estação de transmissão.

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