A chaminé de uma fábrica tem a forma de uma haste longa vertical, de altura H e massa M. Essa chaminé sofre uma ruptura em sua base e começa a cair livremente, girando como um corpo rigido em torno de um eixo que passa pela base. A chaminé parte do repouso.
Dados: M, H,
e g.
Desprezando o atrito com o ar, calcule a velocidade de rotação
da chaminé quando esta estiver inclinada de um ângulo
com a vertical.
Dados: M, H,
Desprezando o atrito com o ar, calcule a velocidade de rotação
Passo 1
Então, temos uma chaminé vertical de altura $ H $ e massa $ M $ que começa a cair girando ao redor da base. Vamos usar conceitos de energia potencial e energia cinética rotacional para descobrir a velocidade angular $ \omega $ quando a chaminé fizer um ângulo $ \theta $ com a vertical. Precisamos saber sobre momento de inércia e conservação de energia para resolver isso.
Passo 2
Quando a chaminé está na posição vertical, toda a sua energia é potencial. À medida que ela cai e se inclina, essa energia potencial vai se transformando em energia cinética rotacional.
Passo 3
A energia potencial inicial ($ U_i $) da chaminé quando está vertical é dada por:
Aqui, $ \frac{H}{2} $ é a altura do centro de massa da chaminé.
Passo 4
Quando a chaminé está inclinada num ângulo $ \theta $, a altura do centro de massa diminui para $ \frac{H}{2} \cos \theta
U_f $) é:
Passo 5
A diferença de energia potencial ($ \Delta U $) que foi convertida em energia cinética rotacional é:
Passo 6
A energia cinética rotacional ($ KE_{rot} $) é dada por:
Onde $ I $ é o momento de inércia da chaminé em relação à base. Para uma haste longa girando em torno de uma extremidade, temos:
Passo 7
Igualamos a energia liberada ($ \Delta U $) à energia cinética rotacional:
Passo 8
Simplificando a equação:
Passo 9
Resolvendo para $ \omega $:
Resposta
A velocidade de rotação da chaminé quando inclinada num ângulo $ \theta $ com a vertical é: