A chaminé de uma fábrica tem a forma de uma haste longa vertical, de altura H e massa M. Essa chaminé sofre uma ruptura em sua base e começa a cair livremente, girando como um corpo rigido em torno de um eixo que passa pela base. A chaminé parte do repouso.
Dados: M, H, theta e g.
Desprezando o atrito com o ar, calcule a velocidade de rotação omega da chaminé quando esta estiver inclinada de um ângulo theta com a vertical.

Passo 1

Então, temos uma chaminé vertical de altura $ H $ e massa $ M $ que começa a cair girando ao redor da base. Vamos usar conceitos de energia potencial e energia cinética rotacional para descobrir a velocidade angular $ \omega $ quando a chaminé fizer um ângulo $ \theta $ com a vertical. Precisamos saber sobre momento de inércia e conservação de energia para resolver isso.

Passo 2

Quando a chaminé está na posição vertical, toda a sua energia é potencial. À medida que ela cai e se inclina, essa energia potencial vai se transformando em energia cinética rotacional.

Passo 3

A energia potencial inicial ($ U_i $) da chaminé quando está vertical é dada por:
Ui
Aqui, $ \frac{H}{2} $ é a altura do centro de massa da chaminé.

Passo 4

Quando a chaminé está inclinada num ângulo $ \theta $, a altura do centro de massa diminui para $ \frac{H}{2} \cos \theta theta U_f $) é:
H2 cos theta

Passo 5

A diferença de energia potencial ($ \Delta U $) que foi convertida em energia cinética rotacional é:
De

Passo 6

A energia cinética rotacional ($ KE_{rot} $) é dada por:
KErot
Onde $ I $ é o momento de inércia da chaminé em relação à base. Para uma haste longa girando em torno de uma extremidade, temos:
KErot = 12 I omega^2

Passo 7

Igualamos a energia liberada ($ \Delta U $) à energia cinética rotacional:
De

Passo 8

Simplificando a equação:
16 H omega^2 = 12 g (1 - cos theta)

Passo 9

Resolvendo para $ \omega $:
omega

Resposta

A velocidade de rotação da chaminé quando inclinada num ângulo $ \theta $ com a vertical é:
theta

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