Duas esferas isolantes, uma com 1 nC e 160 cm de diâmetro e outra com 5 nC e 40 cm de diâmetro estão em contato e são abandonadas. Qual será a energia cinética total quando elas estiverem muito afastadas?
A) 60 nJ
B) 100 nJ
C) 15 nJ
D) 45 nJ
E) 189 nJ

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre duas esferas isolantes que estão em contato e depois são separadas. A gente vai trabalhar com conceitos de carga elétrica, capacitância e energia potencial elétrica. Precisamos descobrir quanto de energia cinética total elas terão quando estiverem bem afastadas. Para isso, vamos precisar usar fórmulas que relacionam carga, potencial e energia elétrica.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que quando duas esferas condutoras estão em contato, elas compartilham a carga elétrica até que o potencial das duas seja o mesmo. Mesmo sendo isolantes, vamos considerar que a carga se redistribui dessa forma.

Passo 3

Vamos identificar os dados do problema:
  • Carga da primeira esfera (Q₁): 1 nC = C
  • Diâmetro da primeira esfera: 160 cm, então o raio (R₁) é 80 cm = 0,8 m
  • Carga da segunda esfera (Q₂): 5 nC = C
  • Diâmetro da segunda esfera: 40 cm, então o raio (R₂) é 20 cm = 0,2 m

Passo 4

A gente precisa encontrar as cargas finais nas esferas após a redistribuição. Como o potencial das duas esferas deve ser igual, usamos a fórmula do potencial elétrico de uma esfera:
V = k cdot QR
Onde:
  • k cdot Q1'R1 = k cdot Q2'R2 é o potencial
  • Q1'0,8 = Q2'0,2 é a constante eletrostática ( Q1' = 4 cdot Q2' ²²)
  • é a carga
  • é o raio
Como os potenciais são iguais:
O cancela dos dois lados:
Então:

Passo 5

Sabemos que a carga total é a soma das cargas iniciais:
Qtotal = Q1 + Q2 = 1 times 10^-9 + 5 times 10^-9 = 6 times 10^-9 , C
E como 4Q2' + Q2' = 6 times 10^-9 e 5Q2' = 6 times 10^-9 , substituímos:
Q2' = 6 times 10^-95 = 1,2 times 10^-9 , C
Q1' = 4 cdot 1,2 times 10^-9 = 4,8 times 10^-9 , C
E então:

Passo 6

Agora, vamos calcular a energia potencial elétrica antes e depois da separação. A diferença de energia será a energia cinética total das esferas.
A energia potencial elétrica de uma esfera é dada por:
U = k cdot Q^22R
Primeiro, calculamos a energia antes da separação, quando as cargas estavam somadas na esfera maior (160 cm de diâmetro, R = 0,8 m):
Uinicial = 8,988 times 10^9 cdot (6 times 10^-9)^22 cdot 0,8 = 8,988 times 10^9 cdot 36 times 10^-181,6 = 323,568 times 10^-91,6 approx 202,23 times 10^-9 , J = 202,23 , nJ
Depois da separação, a energia total é a soma das energias das duas esferas:
Ufinal = k cdot Q1'^22R1 + k cdot Q2'^22R2
Ufinal = 8,988 times 10^9 cdot (4,8 times 10^-9)^22 cdot 0,8 + 8,988 times 10^9 cdot (1,2 times 10^-9)^22 cdot 0,2
Ufinal = 8,988 times 10^9 cdot 23,04 times 10^-181,6 + 8,988 times 10^9 cdot 1,44 times 10^-180,4
Ufinal = 207,63 times 10^-91,6 + 12,95 times 10^-90,4 approx 129,77 times 10^-9 + 32,38 times 10^-9 = 162,15 times 10^-9 , J = 162,15 , nJ

Passo 7

A energia cinética total quando as esferas estiverem muito afastadas é a diferença entre a energia inicial e a final:
Ecinética = Uinicial - Ufinal = 202,23 , nJ - 162,15 , nJ = 40,08 , nJ é
Aproximando, temos cerca de 40 nJ.

Resposta

A energia cinética total das esferas quando estiverem muito afastadas é aproximadamente 40 nJ. Porém, como essa opção não está listada, o valor mais próximo é 45 nJ. Portanto, a resposta correta é a opção D) 45 nJ.

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