A chocolateria Kakau Show pretende utilizar dois novos tipos de cacau, para a fabricação de seus chocolates, cujos nomes são Cacau Natural (C1) e Cacau Premium (C2). O custo por grama do cacau Natural (C1) e Premium (C2) são iguais a 2 e 4 reais, respectivamente. Segundo as demandas de mercado, a chocolateria deve produzir pelo menos 18, 25 e 2 unidades dos bombons Tropical, Dolce Gusto e Cioccolato, respectivamente. Cada unidade do bombom Tropical requer pelo menos 5 gramas de cacau natural (C1) e premium (C2) para ser fabricada. Enquanto que cada unidade do bombom Dolce Gusto requer pelo menos 2 gramas de cacau natural (C1) e 6 gramas de cacau premium (C2), respectivamente. Além disso, cada unidade do bombom Cioccolato utiliza pelo menos 1 grama cacau natural (C1). Assim, com base nas informações dadas, qual é a quantidade mínima, em gramas, de Cacau Natural (C1) e Cacau Premium (C2) que devem ser compradas para produzir as quantidades de bombons demandadas? Neste caso, o problema tem como objetivo minimizar os gastos com a compra de cacau para a fabricação de bombons, respeitando as restrições dadas. Determine a formulação matemática desse problema e solucione-o graficamente.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a gente precisa resolver aqui. Temos a chocolateria Kakau Show que quer fabricar bombons usando dois tipos de cacau: o Cacau Natural (C1) e o Cacau Premium (C2). Cada tipo de cacau tem um custo diferente por grama: C1 custa 2 reais e C2 custa 4 reais. A meta é descobrir a quantidade mínima de cada cacau que a gente precisa comprar para produzir a quantidade necessária de bombons, gastando o mínimo possível. Para isso, vamos usar Programação Linear, que é uma técnica matemática para otimizar (minimizar ou maximizar) alguma coisa, nesse caso, o custo.

Passo 2

Primeiro, vamos definir nossas variáveis de decisão. Isso significa que vamos atribuir símbolos para as quantidades que queremos encontrar.
  • Seja a quantidade, em gramas, de Cacau Natural (C1) que precisamos comprar.
  • Seja a quantidade, em gramas, de Cacau Premium (C2) que precisamos comprar.
Essas variáveis vão nos ajudar a montar as equações que representam o problema.

Passo 3

Agora, vamos montar a função objetivo, que é o que a gente quer minimizar. Nesse caso, é o custo total dos cacaus.
O custo total é dado por:
Custo Total = 2x + 4y
Aqui, representa o custo do C1 e o custo do C2. Nosso objetivo é minimizar essa função.

Passo 4

Em seguida, precisamos estabelecer as restrições do problema, ou seja, as necessidades mínimas para a produção dos bombons.
Vamos analisar cada tipo de bombom:
  1. Bombom Tropical:
    • Precisamos produzir pelo menos 18 unidades.
    • Cada unidade usa pelo menos 5g de C1 e 5g de C2.
    • Então, para 18 unidades: x >= 142 y >= 240 x >= 0 y >= 0 g de C1 e g de C2.
  2. Bombom Dolce Gusto:
    • Precisamos produzir pelo menos 25 unidades.
    • Cada unidade usa pelo menos 2g de C1 e 6g de C2.
    • Então, para 25 unidades: g de C1 e g de C2.
  3. Bombom Cioccolato:
    • Precisamos produzir pelo menos 2 unidades.
    • Cada unidade usa pelo menos 1g de C1.
    • Então, para 2 unidades: g de C1.
Agora, somando todas as necessidades:
  • Total de C1: g
  • Total de C2: g
Portanto, as restrições são:
As últimas duas inequações garantem que as quantidades de cacau não sejam negativas.

Passo 5

Agora que temos a função objetivo e as restrições, vamos resolver graficamente para encontrar os valores de e que minimizam o custo.
Primeiro, desenhamos as restrições no plano cartesiano:
  1. : uma linha vertical passando por .
  2. : uma linha horizontal passando por .
A região viável é onde todas as restrições se sobrepõem, ou seja, para a partir de 142 e a partir de 240.

Passo 6

Para encontrar o mínimo custo, avaliamos a função objetivo nos vértices da região viável. No nosso caso, como as restrições formam um retângulo começando em Custo Total = 2x + 4y = 2(142) + 4(240) = 284 + 960 = 1244 reais , esse é o único vértice relevante.
Calculando o custo:
Não há outros vértices a considerar porque as restrições são diretas e não intersectam em outros pontos dentro da região viável.

Resposta

A quantidade mínima que deve ser comprada para atender a demanda é de 142 gramas de Cacau Natural (C1) e 240 gramas de Cacau Premium (C2), resultando em um custo total de 1.244 reais.

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