Uma companhia fabrica móveis de escritório dividido em 3 categorias: básico, clássico e luxo. Para a fabricação de um móvel da categoria básico são necessários 0.82 m^3 de jacarandá, 0.27 m^3 de magno, 0.96 litros de verniz e 2.16 horas de mão de obra. Para a elaboração de um móvel do tipo clássico são necessários 1.15 m^3 de jacarandá, 0.63 m^3 de magno, 0.72 m^3 de cerejeira, 1.84 litros de verniz e 2.96 horas de mão de obra. Para a criação de um móvel do modelo de luxo são necessários 0.96 m 3 de jacarandá, 1.03 m^3 de magno, 0.64 m^3 de cerejeira, 2.76 litros de verniz e 3.52 horas de mão de obra. As quantidades de recursos disponíveis são de 360 m^3 de jacarandá, 126 m^3 de magno, 224 m^3 de cerejeira, 58 litros de verniz e 236 horas mão de obra. As contribuições para o lucro são 12,00 para o modelo básico, 23,00 para o modelo clássico e 35,00 para o modelo luxo. Faça a modelagem para esse problema.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma empresa que fabrica três tipos de móveis de escritório: básico, clássico e luxo. A gente vai precisar usar programação linear, que é uma técnica matemática para otimizar algo, no caso, o lucro da empresa. Para resolver isso, vamos definir variáveis para cada tipo de móvel, estabelecer as limitações de recursos disponíveis e montar uma função que represente o lucro total que queremos maximizar.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as nossas variáveis:
  • Seja o número de móveis básicos que a empresa vai fabricar.
  • Seja o número de móveis clássicos que a empresa vai fabricar.
  • Seja o número de móveis de luxo que a empresa vai fabricar.
Essas variáveis nos ajudarão a quantificar a produção de cada tipo de móvel.

Passo 3

Agora, vamos montar as restrições com base nos recursos disponíveis. A empresa tem limites de materiais e tempo de produção:
  1. Jacarandá:
    0.82x + 1.15y + 0.96z <= 360
    Isso porque cada móvel básico usa 0.82 m³, clássico 1.15 m³ e de luxo 0.96 m³, e o total disponível é 360 m³.
  2. Magno:
    0.27x + 0.63y + 1.03z <= 126
    Similarmente para o magno.
  3. Cerejeira:
    0y + 0.72y + 0.64z <= 224
    Observe que o móvel básico não usa cerejeira, por isso o 0.
  4. Verniz:
    0.96x + 1.84y + 2.76z <= 58
  5. Mão de Obra:
    2.16x + 2.96y + 3.52z <= 236
Além disso, não podemos produzir quantidade negativa de móveis, então:
x >= 0, y >= 0, z >= 0

Passo 4

Agora, vamos montar a nossa função objetivo, que é o lucro total que queremos maximizar. Cada móvel básico dá um lucro de 12, clássico 23 e de luxo 35, então:
Maximizar Z = 12x + 23y + 35z

Passo 5

Juntando tudo, a modelagem fica assim:
Maximizar Z = 12x + 23y + 35z 0.82x + 1.15y + 0.96z <= 360 0.27x + 0.63y + 1.03z <= 126 0.72y + 0.64z <= 224 0.96x + 1.84y + 2.76z <= 58 2.16x + 2.96y + 3.52z <= 236 x, y, z >= 0

Resposta

A modelagem do problema é:
Maximizar Z = 12x + 23y + 35z 0.82x + 1.15y + 0.96z <= 360 0.27x + 0.63y + 1.03z <= 126 0.72y + 0.64z <= 224 0.96x + 1.84y + 2.76z <= 58 2.16x + 2.96y + 3.52z <= 236 x, y, z >= 0
Isso representa a quantidade ótima de móveis de cada categoria que a empresa deve fabricar para maximizar o lucro, respeitando as limitações de recursos disponíveis.

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