Após fazer um estudo, uma empresa verificou que a venda dos produtos denominados P1 e P2 dariam lucros de 50 e 60 reais por unidade, respectivamente. Para a produção de tais produtos são utilizados recursos como vidro, alumínio e acrílico. Para produzir uma unidade do produto P1 são necessários 2 m^2 de vidro, 2 m^2 de alumínio e 3 m^2 de acrílico. Para fabricar uma unidade do produto P 2 são necessários 3 m^2 de vidro, 1 m^2 de alumínio e 4 m^2 de acrílico. As disponibilidades de cada um dos recursos a serem usados na fabricação são de 180 m^2 de vidro, 120 m^2 de alumínio e 240 m^2 de acrílico. Uma pesquisa de mercado revelou que podem ser absorvidas, no máximo, 40 unidades de P2. Deste modo é necessário descobrir quais a quantidades de produtos P1 e P2 que devem ser produzidas buscando maximizar o lucro. Com base nas informações dadas faça:
a) Definição da formulação matemática do problema descrito.

Passo 1

Então, vamos lá! Temos uma empresa que vende dois produtos, P1 e P2, com lucros de R$50 e R$60 por unidade, respectivamente. Para fabricar esses produtos, usamos recursos como vidro, alumínio e acrílico, cada um com uma quantidade limitada disponível. Além disso, há um limite de 40 unidades para o produto P2. Nosso objetivo é descobrir quantas unidades de cada produto a empresa deve produzir para maximizar o lucro. Vamos precisar usar Programação Linear para resolver esse tipo de problema de otimização.

Passo 2

Primeiro, vamos definir nossas variáveis de decisão. Essas representam o que queremos determinar:
  • Seja o número de unidades do produto P1 a serem produzidas.
  • Seja o número de unidades do produto P2 a serem produzidas.

Passo 3

Agora, vamos formular a função objetivo, que é o lucro total que queremos maximizar. Sabemos que cada unidade de P1 dá um lucro de R$50 e cada unidade de P2 dá R$60. Então:
50 e cada unidade de P2 dá R
Nosso objetivo é maximizar essa função.

Passo 4

Em seguida, precisamos considerar as restrições de recursos disponíveis. Cada produto consome uma certa quantidade de vidro, alumínio e acrílico:
  • Vidro:
    • P1 usa 2 m² por unidade.
    • P2 usa 3 m² por unidade.
    • Total disponível: 180 m².
    Então, a restrição é:
    2x + 3y <= 180
  • Alumínio:
    • P1 usa 2 m² por unidade.
    • P2 usa 1 m² por unidade.
    • Total disponível: 120 m².
    Restrição:
    2x + y <= 120
  • Acrílico:
    • P1 usa 3 m² por unidade.
    • P2 usa 4 m² por unidade.
    • Total disponível: 240 m².
    Restrição:
    3x + 4y <= 240

Passo 5

Também temos uma restrição específica do problema: no máximo 40 unidades de P2 podem ser produzidas. Isso dá:
y <= 40
Além disso, não podemos produzir uma quantidade negativa de produtos, então:
x >= 0 y >= 0

Passo 6

Agora, juntando tudo, nossa formulação matemática fica assim:
Maximizar:
50x + 60y
Sujeito a:
2x + 3y <= 180 (Vidro) 2x + y <= 120 (Alumínio) 3x + 4y <= 240 (Acrílico) y <= 40 (Limite de P2) x >= 0 y >= 0 íí

Resposta

A formulação matemática do problema é:
& Maximizar & 50x + 60y & Sujeito a & 2x + 3y <= 180 2x + y <= 120 3x + 4y <= 240 y <= 40 x >= 0 y >= 0

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