Um chuveiro comum possui 20 aberturas circulares, cada uma com raio de 1,0 mm. O chuveiro é conectado a um cano de plástico de diâmetro igual a 1,6 cm. Se a velocidade da água nesse cano é 3,0 m / s, qual é sua velocidade ao sair pelas aberturas do chuveiro?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre um chuveiro com 20 furos circulares, cada um com raio de 1,0 mm. Esse chuveiro está ligado a um cano de plástico que tem diâmetro de 1,6 cm. A água está passando pelo cano com uma velocidade de 3,0 m/s. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a velocidade da água quando ela sai por esses furos do chuveiro.
Aqui, vamos usar o conceito de Equação de Continuidade da física dos fluidos, que nos ajuda a relacionar a velocidade e a área de diferentes seções por onde o fluido passa.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a área da seção transversal do cano e a área total das aberturas do chuveiro.
  1. Área do Cano ( rcano = 1,6, cm2 = 0,8, cm = 0,008, m ):
O diâmetro do cano é 1,6 cm, então seu raio ( A = pi r^2 ) é metade disso:
Acano = pi (0,008, m)^2 approx 3,14 times 6,4 times 10^-5, m^2 approx 2,01 times 10^-4, m^2
A área de um círculo é calculada por:
Aabertura = pi (0,001, m)^2 = pi times 1 times 10^-6, m^2 approx 3,14 times 10^-6, m^2
Então,
Atotal = 20 times Aabertura = 20 times 3,14 times 10^-6, m^2 = 6,28 times 10^-5, m^2
  1. Área de uma Abertura do Chuveiro ( ):
O raio de cada abertura é 1,0 mm ( ):
Como são 20 aberturas, a área total ( ) é:

Passo 3

Agora, vamos aplicar a Equação de Continuidade, que diz que o produto da área pela velocidade é constante em um fluxo incompressível. Isso significa:
Acano times vcano = Atotal times vchuveiro
Queremos encontrar vchuveiro = Acano times vcanoAtotal , então rearranjamos a equação:
vchuveiro = 2,01 times 10^-4, m^2 times 3,0, m/s6,28 times 10^-5, m^2 = 6,03 times 10^-4, m^3/s6,28 times 10^-5, m^2 approx 9,6, m/s
Substituindo os valores que calculamos:

Resposta

A velocidade da água ao sair pelas aberturas do chuveiro é aproximadamente 9,6 metros por segundo.

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