Em uma cidade há duas companhias de táxis:
e
. Sabe-se que
dos táxis pertencem a companhia
pertencem a companhia
e todos circulam ao acaso pela cidade. Um táxi se envolve em um acidente noturno em um local pouco iluminado e uma testemunha presencia o acidente. A confiabilidade da testemunha é
, isto é, a testemunha é capaz de identificar corretamente a companhia a qual pertence o táxi envolvido no acidente em
dos casos.
© Suponha agora que
dos táxis pertençam à companhia
, em que
, e a confiabilidade da testemunha continua sendo
. Determine os valores de p para os quais a probabilidade condicional determinada no item (b) seja maior do que ou igual a 0,5
© Suponha agora que
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos duas companhias de táxis,
e
. A proporção de táxis de
é
e de
é
, onde
. Uma testemunha com 80% de confiabilidade identifica corretamente a companhia do táxi envolvido em um acidente. Queremos descobrir para quais valores de
a probabilidade condicional de o táxi ser da
dado que a testemunha disse que é da
seja maior ou igual a 50%.
Vamos precisar usar o Teorema de Bayes para calcular essa probabilidade condicional.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as probabilidades envolvidas:
-
: probabilidade de um táxi ser da companhia . -
: probabilidade de um táxi ser da companhia . -
: probabilidade da testemunha identificar corretamente . -
: probabilidade da testemunha errar e dizer quando é .
Passo 3
Aplicando o Teorema de Bayes, queremos encontrar
:
Passo 4
Vamos calcular
, que é a probabilidade total da testemunha dizer
:
Substituindo os valores:
Passo 5
Agora, substituímos de volta na fórmula do Teorema de Bayes:
Passo 6
Queremos que essa probabilidade seja maior ou igual a 0,5:
Passo 7
Vamos resolver a inequação passo a passo. Primeiro, multiplicamos ambos os lados pelo denominador para eliminar a fração:
Expandindo o lado direito:
Distribuindo o 0.1:
Passo 8
Agrupando os termos com
no lado esquerdo e os constantes no lado direito:
Simplificando:
Passo 9
Isolando
:
Resposta
Os valores de
para os quais a probabilidade condicional é maior ou igual a 0,5 são todos os valores onde
.
Exercícios relacionados
($ pontos) Considere um espaço de probabilidade
tal que o espaço amostral é
, a
-álgebra de eventos é
o conjunto das partes de
e
é uma probabilidade tal que
para todo subconjunto nảo vazio
de
. Diga quais das situaçōes descritas a seguir sāo possf́veis (
não contradiz nenhum dos axiomas de Kolmogorov) e quais não são possiveis (
contradiz algum dos axiomas de Kolmogorov).
(f) e
(f)
($ pontos) Considere um espaço de probabilidade
tal que o espaço amostral é
, a
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e
é uma probabilidade tal que
para todo subconjunto nảo vazio
de
. Diga quais das situaçōes descritas a seguir sāo possf́veis (
não contradiz nenhum dos axiomas de Kolmogorov) e quais não são possiveis (
contradiz algum dos axiomas de Kolmogorov).
(d) e
.
(d)
Nos exerádos de 17 a 34 , encontre a média, a mediana e a moda dos dados, se possivel. Se quaisquer dessas medidas não puderem ser encontradas ou não representarem o centro dos dados, explique a porque.
17. SUVs 0 número máximo de lugares em uma amostra de 13 utilatrios esportivos.
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Em uma cidade há duas companhias de táxis:
e
. Sabe-se que
dos táxis pertencem a companhia
pertencem a companhia
e todos circulam ao acaso pela cidade. Um táxi se envolve em um acidente noturno em um local pouco iluminado e uma testemunha presencia o acidente. A confiabilidade da testemunha é
, isto é, a testemunha é capaz de identificar corretamente a companhia a qual pertence o táxi envolvido no acidente em
dos casos.
(a) Determine a probabilidade de que a testemunha afirme que o táxi envolvido no acidente pertença à companhia .
(a) Determine a probabilidade de que a testemunha afirme que o táxi envolvido no acidente pertença à companhia