Em uma cidade há duas companhias de táxis: C1 e C2. Sabe-se que 85 % dos táxis pertencem a companhia C1, 15 % pertencem a companhia C2 e todos circulam ao acaso pela cidade. Um táxi se envolve em um acidente noturno em um local pouco iluminado e uma testemunha presencia o acidente. A confiabilidade da testemunha é 80 %, isto é, a testemunha é capaz de identificar corretamente a companhia a qual pertence o táxi envolvido no acidente em 80 % dos casos.
© Suponha agora que 100 p % dos táxis pertençam à companhia C1, em que 0 <= p <= 1, e a confiabilidade da testemunha continua sendo 80 %. Determine os valores de p para os quais a probabilidade condicional determinada no item (b) seja maior do que ou igual a 0,5

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos duas companhias de táxis, e . A proporção de táxis de é e de é , onde . Uma testemunha com 80% de confiabilidade identifica corretamente a companhia do táxi envolvido em um acidente. Queremos descobrir para quais valores de a probabilidade condicional de o táxi ser da dado que a testemunha disse que é da seja maior ou igual a 50%.
Vamos precisar usar o Teorema de Bayes para calcular essa probabilidade condicional.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as probabilidades envolvidas:
  • : probabilidade de um táxi ser da companhia .
  • : probabilidade de um táxi ser da companhia .
  • : probabilidade da testemunha identificar corretamente .
  • : probabilidade da testemunha errar e dizer quando é .

Passo 3

Aplicando o Teorema de Bayes, queremos encontrar P(C1 | Testemunha diz C1) = P(Testemunha diz C1 | C1) cdot P(C1)P(Testemunha diz C1) :

Passo 4

Vamos calcular P(Testemunha diz C1) = P(Testemunha diz C1 | C1) cdot P(C1) + P(Testemunha diz C1 | C2) cdot P(C2) , que é a probabilidade total da testemunha dizer P(Testemunha diz C1) = 0.8p + 0.2(1 - p) :
Substituindo os valores:

Passo 5

Agora, substituímos de volta na fórmula do Teorema de Bayes:
P(C1 | Testemunha diz C1) = 0.8p0.8p + 0.2(1 - p)

Passo 6

Queremos que essa probabilidade seja maior ou igual a 0,5:
0.8p0.8p + 0.2(1 - p) >= 0.5

Passo 7

Vamos resolver a inequação passo a passo. Primeiro, multiplicamos ambos os lados pelo denominador para eliminar a fração:
0.8p >= 0.5 (0.8p + 0.2(1 - p))
Expandindo o lado direito:
0.8p >= 0.4p + 0.1(1 - p)
Distribuindo o 0.1:
0.8p >= 0.4p + 0.1 - 0.1p

Passo 8

Agrupando os termos com 0.8p - 0.4p + 0.1p >= 0.1 no lado esquerdo e os constantes no lado direito:
0.5p >= 0.1
Simplificando:

Passo 9

Isolando p >= 0.10.5 :
p >= 0.2

Resposta

Os valores de para os quais a probabilidade condicional é maior ou igual a 0,5 são todos os valores onde .

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