Em uma cidade há duas companhias de táxis: e . Sabe-se que dos táxis pertencem a companhia pertencem a companhia e todos circulam ao acaso pela cidade. Um táxi se envolve em um acidente noturno em um local pouco iluminado e uma testemunha presencia o acidente. A confiabilidade da testemunha é , isto é, a testemunha é capaz de identificar corretamente a companhia a qual pertence o táxi envolvido no acidente em dos casos.
© Suponha agora que dos táxis pertençam à companhia , em que , e a confiabilidade da testemunha continua sendo . Determine os valores de p para os quais a probabilidade condicional determinada no item (b) seja maior do que ou igual a 0,5

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos duas companhias de táxis, e . A proporção de táxis de é e de é , onde . Uma testemunha com 80% de confiabilidade identifica corretamente a companhia do táxi envolvido em um acidente. Queremos descobrir para quais valores de a probabilidade condicional de o táxi ser da dado que a testemunha disse que é da seja maior ou igual a 50%.
Vamos precisar usar o Teorema de Bayes para calcular essa probabilidade condicional.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as probabilidades envolvidas:
  • : probabilidade de um táxi ser da companhia .
  • : probabilidade de um táxi ser da companhia .
  • : probabilidade da testemunha identificar corretamente .
  • : probabilidade da testemunha errar e dizer quando é .

Passo 3

Aplicando o Teorema de Bayes, queremos encontrar :

Passo 4

Vamos calcular , que é a probabilidade total da testemunha dizer :
Substituindo os valores:

Passo 5

Agora, substituímos de volta na fórmula do Teorema de Bayes:

Passo 6

Queremos que essa probabilidade seja maior ou igual a 0,5:

Passo 7

Vamos resolver a inequação passo a passo. Primeiro, multiplicamos ambos os lados pelo denominador para eliminar a fração:
Expandindo o lado direito:
Distribuindo o 0.1:

Passo 8

Agrupando os termos com no lado esquerdo e os constantes no lado direito:
Simplificando:

Passo 9

Isolando :

Resposta

Os valores de para os quais a probabilidade condicional é maior ou igual a 0,5 são todos os valores onde .

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(a) Determine a probabilidade de que a testemunha afirme que o táxi envolvido no acidente pertença à companhia .