Em uma cidade há duas companhias de táxis:
e
. Sabe-se que
dos táxis pertencem a companhia
pertencem a companhia
e todos circulam ao acaso pela cidade. Um táxi se envolve em um acidente noturno em um local pouco iluminado e uma testemunha presencia o acidente. A confiabilidade da testemunha é
, isto é, a testemunha é capaz de identificar corretamente a companhia a qual pertence o táxi envolvido no acidente em
dos casos.
(a) Determine a probabilidade de que a testemunha afirme que o táxi envolvido no acidente pertença à companhia
.
(a) Determine a probabilidade de que a testemunha afirme que o táxi envolvido no acidente pertença à companhia
Passo 1
Vamos resumir o problema: temos duas companhias de táxi,
e
. Sabemos que
dos táxis são da
e
da
. Um táxi envolveu um acidente e uma testemunha com
de confiabilidade afirmou que o táxi pertence à
. Nosso objetivo é descobrir qual a probabilidade de a testemunha afirmar que o táxi é da
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade condicional e teorema da probabilidade total.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar todas as possibilidades que podem levar a testemunha afirmar que o táxi é da
:
- O táxi realmente é da
e a testemunha identifica corretamente. - O táxi é da
, mas a testemunha erra e diz que é da .
Passo 3
Vamos calcular a probabilidade de cada uma dessas situações:
-
Táxi é da
e testemunha está certa: - Probabilidade do táxi ser da
: - Probabilidade da testemunha estar correta:
- Então,
- Probabilidade do táxi ser da
-
Táxi é da
mas testemunha erra e diz que é da : - Probabilidade do táxi ser da
: - Probabilidade da testemunha errar:
- Já que existem apenas duas companhias, se a testemunha erra, ela necessariamente dirá que é da
. - Então,
- Probabilidade do táxi ser da
Passo 4
Agora, somamos as duas probabilidades para obter a probabilidade total de a testemunha afirmar que o táxi é da
:
Resposta
A probabilidade de que a testemunha afirme que o táxi envolvido no acidente pertença à companhia
é de 71%.
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, isto é, a testemunha é capaz de identificar corretamente a companhia a qual pertence o táxi envolvido no acidente em
dos casos.
© Suponha agora que dos táxis pertençam à companhia
, em que
, e a confiabilidade da testemunha continua sendo
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