Em uma cidade há duas companhias de táxis: e . Sabe-se que dos táxis pertencem a companhia pertencem a companhia e todos circulam ao acaso pela cidade. Um táxi se envolve em um acidente noturno em um local pouco iluminado e uma testemunha presencia o acidente. A confiabilidade da testemunha é , isto é, a testemunha é capaz de identificar corretamente a companhia a qual pertence o táxi envolvido no acidente em dos casos.
(a) Determine a probabilidade de que a testemunha afirme que o táxi envolvido no acidente pertença à companhia .

Passo 1

Vamos resumir o problema: temos duas companhias de táxi, e . Sabemos que dos táxis são da e da . Um táxi envolveu um acidente e uma testemunha com de confiabilidade afirmou que o táxi pertence à . Nosso objetivo é descobrir qual a probabilidade de a testemunha afirmar que o táxi é da . Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade condicional e teorema da probabilidade total.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar todas as possibilidades que podem levar a testemunha afirmar que o táxi é da :
  1. O táxi realmente é da e a testemunha identifica corretamente.
  2. O táxi é da , mas a testemunha erra e diz que é da .

Passo 3

Vamos calcular a probabilidade de cada uma dessas situações:
  1. Táxi é da e testemunha está certa:
    • Probabilidade do táxi ser da :
    • Probabilidade da testemunha estar correta:
    • Então,
  2. Táxi é da mas testemunha erra e diz que é da :
    • Probabilidade do táxi ser da :
    • Probabilidade da testemunha errar:
    • Já que existem apenas duas companhias, se a testemunha erra, ela necessariamente dirá que é da .
    • Então,

Passo 4

Agora, somamos as duas probabilidades para obter a probabilidade total de a testemunha afirmar que o táxi é da :

Resposta

A probabilidade de que a testemunha afirme que o táxi envolvido no acidente pertença à companhia é de 71%.

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