($ pontos) Considere um espaço de probabilidade
tal que o espaço amostral é
, a
-álgebra de eventos é
o conjunto das partes de
e
é uma probabilidade tal que
para todo subconjunto nảo vazio
de
. Diga quais das situaçōes descritas a seguir sāo possf́veis (
não contradiz nenhum dos axiomas de Kolmogorov) e quais não são possiveis (
contradiz algum dos axiomas de Kolmogorov).
(f)
e
(f)
Passo 1
Beleza, vamos entender o que está acontecendo aqui. Temos um espaço de probabilidade com o conjunto amostral
. A
-álgebra é o conjunto de todas as partes de
, ou seja, todos os subconjuntos possíveis. A função de probabilidade
atribui uma probabilidade a cada conjunto, e sabemos que
para qualquer subconjunto não vazio de
. Nosso objetivo é verificar se as probabilidades dadas para certos conjuntos seguem os axiomas de Kolmogorov.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar os três axiomas de Kolmogorov:
- Axioma da não nulidade: Para todo evento
, . - Axioma da normalização:
. - Axioma da aditividade: Para quaisquer eventos mutuamente exclusivos
e , .
Vamos verificar se as probabilidades dadas respeitam esses axiomas.
Passo 3
As probabilidades fornecidas são:
Vamos usar essas informações para descobrir se há alguma contradição.
Passo 4
Vamos considerar os conjuntos:
A intersecção desses conjuntos é
.
Segundo o princípio da aditividade para dois conjuntos qualquer, temos:
Vamos calcular
.
Passo 5
Na verdade,
.
Sabendo que
(axioma da normalização), substituímos na equação:
Vamos calcular o lado direito:
Então:
Até aqui, tudo certo! A igualdade se mantém.
Passo 6
Agora, vamos verificar se os valores individuais são possíveis dentro do espaço amostral.
Sabemos que todos os subconjuntos não vazios têm probabilidade positiva, então:
Vamos descobrir as probabilidades de
e
usando essas informações.
Passo 7
Podemos expressar:
Então:
Fazendo o mesmo para
:
Portanto:
Passo 8
Agora, vamos verificar se a soma das probabilidades de todos os elementos de
é igual a 1:
Tudo está de acordo com os axiomas!
Resposta
Sim, as probabilidades atribuídas não contradizem os axiomas de Kolmogorov e são possíveis dentro do espaço de probabilidade dado.