($ pontos) Considere um espaço de probabilidade pontos) Considere um espaço de probabilidade tal que o espaço amostral é tal que o espaço amostral é , a , a -álgebra de eventos é -ál>=bra de eventos é o conjunto das partes de o conjunto das partes de e e é uma probabilidade tal que é uma probabilidade tal que para todo subconjunto nảo vazio para todo subconjunto nảo vazio de de . Diga quais das situaçōes descritas a seguir sāo possf́veis ( Diga quais das situaçōes descritas a seguir sāo possf́veis ( não contradiz nenhum dos axiomas de Kolmogorov) e quais não são possiveis ( não contradiz nenhum dos axiomas de Kolmogorov) e quais não são possiveis ( contradiz algum dos axiomas de Kolmogorov).
(f) contradiz algum dos axiomas de Kolmogorov) (f) e e

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está acontecendo aqui. Temos um espaço de probabilidade com o conjunto amostral Omega = a, b, c, d. A sigma-álgebra é o conjunto de todas as partes de Omega, ou seja, todos os subconjuntos possíveis. A função de probabilidade P atribui uma probabilidade a cada conjunto, e sabemos que P(A) > 0 para qualquer subconjunto não vazio de Omega. Nosso objetivo é verificar se as probabilidades dadas para certos conjuntos seguem os axiomas de Kolmogorov.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar os três axiomas de Kolmogorov:
  1. Axioma da não nulidade: Para todo evento A, P(A) >= 0.
  2. Axioma da normalização: P(Omega) = 1.
  3. Axioma da aditividade: Para quaisquer eventos mutuamente exclusivos A e B, P(A cup B) = P(A) + P(B).
Vamos verificar se as probabilidades dadas respeitam esses axiomas.

Passo 3

As probabilidades fornecidas são:
  • P(a, b, c) = 34
  • P(b, c, d) = 34
  • P(b, c) = 12
Vamos usar essas informações para descobrir se há alguma contradição.

Passo 4

Vamos considerar os conjuntos:
  • A = a, b, c
  • B = b, c, d
A intersecção desses conjuntos é A cap B = b, c.
Segundo o princípio da aditividade para dois conjuntos qualquer, temos:
P(A cup B) = P(A) + P(B) - P(A cap B)
Vamos calcular P(A cup B).

Passo 5

Na verdade, A cup B = a, b, c, d = Omega.
Sabendo que P(Omega) = 1 (axioma da normalização), substituímos na equação:
1 = 34 + 34 - 12
Vamos calcular o lado direito:
34 + 34 = 64 = 32
Então:
1 = 32 - 12 = 1
Até aqui, tudo certo! A igualdade se mantém.

Passo 6

Agora, vamos verificar se os valores individuais são possíveis dentro do espaço amostral.
Sabemos que todos os subconjuntos não vazios têm probabilidade positiva, então:
  • P(b, c) = 12
  • P(a, b, c) = 34
  • P(b, c, d) = 34
Vamos descobrir as probabilidades de a e d usando essas informações.

Passo 7

Podemos expressar:
P(a, b, c) = P(a) + P(b, c) = P(a) + 12 = 34
Então:
P(a) = 34 - 12 = 14
Fazendo o mesmo para P(d):
P(b, c, d) = P(b, c) + P(d) = 12 + P(d) = 34
Portanto:
P(d) = 34 - 12 = 14

Passo 8

Agora, vamos verificar se a soma das probabilidades de todos os elementos de Omega é igual a 1:
P(a) + P(b, c) + P(d) = 14 + 12 + 14 = 1
Tudo está de acordo com os axiomas!

Resposta

Sim, as probabilidades atribuídas não contradizem os axiomas de Kolmogorov e são possíveis dentro do espaço de probabilidade dado.

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