($ pontos) Considere um espaço de probabilidade tal que o espaço amostral é , a -álgebra de eventos é o conjunto das partes de e é uma probabilidade tal que para todo subconjunto nảo vazio de . Diga quais das situaçōes descritas a seguir sāo possf́veis ( não contradiz nenhum dos axiomas de Kolmogorov) e quais não são possiveis ( contradiz algum dos axiomas de Kolmogorov).
(f) e

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está acontecendo aqui. Temos um espaço de probabilidade com o conjunto amostral . A -álgebra é o conjunto de todas as partes de , ou seja, todos os subconjuntos possíveis. A função de probabilidade atribui uma probabilidade a cada conjunto, e sabemos que para qualquer subconjunto não vazio de . Nosso objetivo é verificar se as probabilidades dadas para certos conjuntos seguem os axiomas de Kolmogorov.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar os três axiomas de Kolmogorov:
  1. Axioma da não nulidade: Para todo evento , .
  2. Axioma da normalização: .
  3. Axioma da aditividade: Para quaisquer eventos mutuamente exclusivos e , .
Vamos verificar se as probabilidades dadas respeitam esses axiomas.

Passo 3

As probabilidades fornecidas são:
Vamos usar essas informações para descobrir se há alguma contradição.

Passo 4

Vamos considerar os conjuntos:
A intersecção desses conjuntos é .
Segundo o princípio da aditividade para dois conjuntos qualquer, temos:
Vamos calcular .

Passo 5

Na verdade, .
Sabendo que (axioma da normalização), substituímos na equação:
Vamos calcular o lado direito:
Então:
Até aqui, tudo certo! A igualdade se mantém.

Passo 6

Agora, vamos verificar se os valores individuais são possíveis dentro do espaço amostral.
Sabemos que todos os subconjuntos não vazios têm probabilidade positiva, então:
Vamos descobrir as probabilidades de e usando essas informações.

Passo 7

Podemos expressar:
Então:
Fazendo o mesmo para :
Portanto:

Passo 8

Agora, vamos verificar se a soma das probabilidades de todos os elementos de é igual a 1:
Tudo está de acordo com os axiomas!

Resposta

Sim, as probabilidades atribuídas não contradizem os axiomas de Kolmogorov e são possíveis dentro do espaço de probabilidade dado.

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($ pontos) Considere um espaço de probabilidade tal que o espaço amostral é , a -álgebra de eventos é o conjunto das partes de e é uma probabilidade tal que para todo subconjunto nảo vazio de . Diga quais das situaçōes descritas a seguir sāo possf́veis ( não contradiz nenhum dos axiomas de Kolmogorov) e quais não são possiveis ( contradiz algum dos axiomas de Kolmogorov).
(d) e .
($ pontos) Considere um espaço de probabilidade tal que o espaço amostral é , a -álgebra de eventos é o conjunto das partes de e é uma probabilidade tal que para todo subconjunto nảo vazio de . Diga quais das situaçōes descritas a seguir sāo possf́veis ( não contradiz nenhum dos axiomas de Kolmogorov) e quais não são possiveis ( contradiz algum dos axiomas de Kolmogorov).
(b) e .
Em uma cidade há duas companhias de táxis: e . Sabe-se que dos táxis pertencem a companhia pertencem a companhia e todos circulam ao acaso pela cidade. Um táxi se envolve em um acidente noturno em um local pouco iluminado e uma testemunha presencia o acidente. A confiabilidade da testemunha é , isto é, a testemunha é capaz de identificar corretamente a companhia a qual pertence o táxi envolvido no acidente em dos casos.
© Suponha agora que dos táxis pertençam à companhia , em que , e a confiabilidade da testemunha continua sendo . Determine os valores de p para os quais a probabilidade condicional determinada no item (b) seja maior do que ou igual a 0,5
Nos exerádos de 17 a 34 , encontre a média, a mediana e a moda dos dados, se possivel. Se quaisquer dessas medidas não puderem ser encontradas ou não representarem o centro dos dados, explique a porque.
17. SUVs 0 número máximo de lugares em uma amostra de 13 utilatrios esportivos.