($ pontos) Considere um espaço de probabilidade pontos) Considere um espaço de probabilidade tal que o espaço amostral é tal que o espaço amostral é , a , a -álgebra de eventos é -ál>=bra de eventos é o conjunto das partes de o conjunto das partes de e e é uma probabilidade tal que é uma probabilidade tal que para todo subconjunto nảo vazio para todo subconjunto nảo vazio de de . Diga quais das situaçōes descritas a seguir sāo possf́veis ( Diga quais das situaçōes descritas a seguir sāo possf́veis ( não contradiz nenhum dos axiomas de Kolmogorov) e quais não são possiveis ( não contradiz nenhum dos axiomas de Kolmogorov) e quais não são possiveis ( contradiz algum dos axiomas de Kolmogorov).
(d) contradiz algum dos axiomas de Kolmogorov) (d) e e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um espaço de probabilidade com um conjunto de elementos Omega = a, b, c, d. A nossa tarefa é verificar se as probabilidades atribuídas aos eventos a, b e c, d respeitam os axiomas de Kolmogorov, que são as regras básicas que toda probabilidade deve seguir.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar os axiomas de Kolmogorov:
  1. Não-negatividade: A probabilidade de qualquer evento é sempre maior ou igual a zero, ou seja, P(A) >= 0.
  2. Probabilidade do espaço inteiro: A probabilidade de todo o espaço amostral é 1, então P(Omega) = 1.
  3. Aditividade: Se dois eventos são mutuamente exclusivos (não podem acontecer ao mesmo tempo), a probabilidade da união deles é a soma das probabilidades individuais, ou seja, se A cap B = emptyset, então P(A cup B) = P(A) + P(B).

Passo 3

Vamos aplicar esses axiomas à situação apresentada:
  • Atribuições dadas:
    • P(a, b) = 14
    • P(c, d) = 34
Primeiro, verificamos o axioma da aditividade. Os eventos a, b e c, d são mutuamente exclusivos porque não compartilham elementos (nenhum elemento está em ambos). A união desses dois eventos é todo o espaço amostral Omega:
a, b cup c, d = Omega
Então, segundo o axioma da aditividade:
P(Omega) = P(a, b) + P(c, d) = 14 + 34 = 1
Isso está certo, já que P(Omega) deve ser igual a 1.

Passo 4

Agora, vamos verificar a não-negatividade. As probabilidades atribuídas são:
  • P(a, b) = 14 > 0
  • P(c, d) = 34 > 0
Além disso, a condição do enunciado diz que todos os subconjuntos não vazios têm probabilidade maior que zero, o que está sendo respeitado aqui.

Passo 5

Por fim, para garantir que não estamos esquecendo de nada, vamos verificar se as probabilidades individuais dos elementos também podem ser positivas. Sabemos que:
P(a) + P(b) = P(a, b) = 14
E
P(c) + P(d) = P(c, d) = 34
Para que todos os subconjuntos não vazios tenham probabilidade positiva, basta que:
  • P(a) > 0
  • P(b) > 0
  • P(c) > 0
  • P(d) > 0
Isso é possível, por exemplo, se atribuímos:
  • P(a) = 18
  • P(b) = 18
  • P(c) = 38
  • P(d) = 38
Tudo respeita os axiomas de Kolmogorov.

Resposta

A situação descrita em (d) é possível, pois as probabilidades atribuídas respeitam todos os axiomas de Kolmogorov.

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