($ pontos) Considere um espaço de probabilidade tal que o espaço amostral é , a -álgebra de eventos é o conjunto das partes de e é uma probabilidade tal que para todo subconjunto nảo vazio de . Diga quais das situaçōes descritas a seguir sāo possf́veis ( não contradiz nenhum dos axiomas de Kolmogorov) e quais não são possiveis ( contradiz algum dos axiomas de Kolmogorov).
(d) e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um espaço de probabilidade com um conjunto de elementos . A nossa tarefa é verificar se as probabilidades atribuídas aos eventos e respeitam os axiomas de Kolmogorov, que são as regras básicas que toda probabilidade deve seguir.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar os axiomas de Kolmogorov:
  1. Não-negatividade: A probabilidade de qualquer evento é sempre maior ou igual a zero, ou seja, .
  2. Probabilidade do espaço inteiro: A probabilidade de todo o espaço amostral é 1, então .
  3. Aditividade: Se dois eventos são mutuamente exclusivos (não podem acontecer ao mesmo tempo), a probabilidade da união deles é a soma das probabilidades individuais, ou seja, se , então .

Passo 3

Vamos aplicar esses axiomas à situação apresentada:
  • Atribuições dadas:
Primeiro, verificamos o axioma da aditividade. Os eventos e são mutuamente exclusivos porque não compartilham elementos (nenhum elemento está em ambos). A união desses dois eventos é todo o espaço amostral :
Então, segundo o axioma da aditividade:
Isso está certo, já que deve ser igual a 1.

Passo 4

Agora, vamos verificar a não-negatividade. As probabilidades atribuídas são:
Além disso, a condição do enunciado diz que todos os subconjuntos não vazios têm probabilidade maior que zero, o que está sendo respeitado aqui.

Passo 5

Por fim, para garantir que não estamos esquecendo de nada, vamos verificar se as probabilidades individuais dos elementos também podem ser positivas. Sabemos que:
E
Para que todos os subconjuntos não vazios tenham probabilidade positiva, basta que:
Isso é possível, por exemplo, se atribuímos:
Tudo respeita os axiomas de Kolmogorov.

Resposta

A situação descrita em (d) é possível, pois as probabilidades atribuídas respeitam todos os axiomas de Kolmogorov.

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($ pontos) Considere um espaço de probabilidade tal que o espaço amostral é , a -álgebra de eventos é o conjunto das partes de e é uma probabilidade tal que para todo subconjunto nảo vazio de . Diga quais das situaçōes descritas a seguir sāo possf́veis ( não contradiz nenhum dos axiomas de Kolmogorov) e quais não são possiveis ( contradiz algum dos axiomas de Kolmogorov).
(b) e .
Encontre um conjunto de dados populacional que contenha seis entradas, média de 5 e que tenha desvio padrão de 2.
($ pontos) Considere um espaço de probabilidade tal que o espaço amostral é , a -álgebra de eventos é o conjunto das partes de e é uma probabilidade tal que para todo subconjunto nảo vazio de . Diga quais das situaçōes descritas a seguir sāo possf́veis ( não contradiz nenhum dos axiomas de Kolmogorov) e quais não são possiveis ( contradiz algum dos axiomas de Kolmogorov).
(f) e
Em uma cidade há duas companhias de táxis: e . Sabe-se que dos táxis pertencem a companhia pertencem a companhia e todos circulam ao acaso pela cidade. Um táxi se envolve em um acidente noturno em um local pouco iluminado e uma testemunha presencia o acidente. A confiabilidade da testemunha é , isto é, a testemunha é capaz de identificar corretamente a companhia a qual pertence o táxi envolvido no acidente em dos casos.
© Suponha agora que dos táxis pertençam à companhia , em que , e a confiabilidade da testemunha continua sendo . Determine os valores de p para os quais a probabilidade condicional determinada no item (b) seja maior do que ou igual a 0,5