($ pontos) Considere um espaço de probabilidade
tal que o espaço amostral é
, a
-álgebra de eventos é
o conjunto das partes de
e
é uma probabilidade tal que
para todo subconjunto nảo vazio
de
. Diga quais das situaçōes descritas a seguir sāo possf́veis (
não contradiz nenhum dos axiomas de Kolmogorov) e quais não são possiveis (
contradiz algum dos axiomas de Kolmogorov).
(d)
e
.
(d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um espaço de probabilidade com um conjunto de elementos
. A nossa tarefa é verificar se as probabilidades atribuídas aos eventos
e
respeitam os axiomas de Kolmogorov, que são as regras básicas que toda probabilidade deve seguir.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar os axiomas de Kolmogorov:
- Não-negatividade: A probabilidade de qualquer evento é sempre maior ou igual a zero, ou seja,
. - Probabilidade do espaço inteiro: A probabilidade de todo o espaço amostral é 1, então
. - Aditividade: Se dois eventos são mutuamente exclusivos (não podem acontecer ao mesmo tempo), a probabilidade da união deles é a soma das probabilidades individuais, ou seja, se
, então .
Passo 3
Vamos aplicar esses axiomas à situação apresentada:
- Atribuições dadas:
-
Primeiro, verificamos o axioma da aditividade. Os eventos
e
são mutuamente exclusivos porque não compartilham elementos (nenhum elemento está em ambos). A união desses dois eventos é todo o espaço amostral
:
Então, segundo o axioma da aditividade:
Isso está certo, já que
deve ser igual a 1.
Passo 4
Agora, vamos verificar a não-negatividade. As probabilidades atribuídas são:
Além disso, a condição do enunciado diz que todos os subconjuntos não vazios têm probabilidade maior que zero, o que está sendo respeitado aqui.
Passo 5
Por fim, para garantir que não estamos esquecendo de nada, vamos verificar se as probabilidades individuais dos elementos também podem ser positivas. Sabemos que:
E
Para que todos os subconjuntos não vazios tenham probabilidade positiva, basta que:
Isso é possível, por exemplo, se atribuímos:
Tudo respeita os axiomas de Kolmogorov.
Resposta
A situação descrita em (d) é possível, pois as probabilidades atribuídas respeitam todos os axiomas de Kolmogorov.