Em uma cidade, sabe-se que das pessoas é detentora de uma determinada doença, em que . Um experimento consiste em selecionar pessoas dessa cidade de forma independente, em que . Qual é a probabilidade de dessas pessoas serern detentoras da doença, em que é um número natural tal que .

Passo 1

Ok, vamos lá! A questão fala sobre a probabilidade de, em um grupo de pessoas selecionadas aleatoriamente de uma cidade, exatamente delas terem uma determinada doença. Sabemos que cada pessoa tem uma probabilidade de estar doente, onde . Para resolver isso, vamos usar o conceito de Distribuição Binomial, que é justamente para calcular probabilidades de eventos independentes com dois resultados possíveis (como estar ou não doente).

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ter eventos independentes. Aqui, cada pessoa escolhida tem uma probabilidade de estar doente, e isso não interfere nas outras escolhas. Ou seja, a condição de uma pessoa estar doente não afeta a condição das outras.

Passo 3

A Distribuição Binomial nos dá a probabilidade de exatamente sucessos (neste caso, pessoas doentes) em tentativas (pessoas escolhidas), com a probabilidade de sucesso em cada tentativa. A fórmula da distribuição binomial é:

Passo 4

Vamos quebrar essa fórmula:
  • é o coeficiente binomial, que calcula de quantas maneiras podemos escolher pessoas doentes entre .
  • é a probabilidade de exatamente pessoas estarem doentes.
  • é a probabilidade das outras pessoas não estarem doentes.

Passo 5

Para calcular , usamos a fórmula:
Onde é o fatorial de , que é o produto de todos os números inteiros de 1 até .

Passo 6

Então, colocando tudo junto, a probabilidade de exatamente pessoas estarem doentes em um grupo de é:

Resposta

A probabilidade de exatamente das pessoas selecionadas terem a doença é:

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