Em uma cidade, sabe-se que p % das pessoas é detentora de uma determinada doença, em que 0 <= p <= 1. Um experimento consiste em selecionar n pessoas dessa cidade de forma independente, em que n in N^*. Qual é a probabilidade de k dessas n pessoas serern detentoras da doença, em que k é um número natural tal que k <= n.

Passo 1

Ok, vamos lá! A questão fala sobre a probabilidade de, em um grupo de n pessoas selecionadas aleatoriamente de uma cidade, exatamente k delas terem uma determinada doença. Sabemos que cada pessoa tem uma probabilidade p de estar doente, onde 0 <= p <= 1. Para resolver isso, vamos usar o conceito de Distribuição Binomial, que é justamente para calcular probabilidades de eventos independentes com dois resultados possíveis (como estar ou não doente).

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ter eventos independentes. Aqui, cada pessoa escolhida tem uma probabilidade p de estar doente, e isso não interfere nas outras escolhas. Ou seja, a condição de uma pessoa estar doente não afeta a condição das outras.

Passo 3

A Distribuição Binomial nos dá a probabilidade de exatamente k sucessos (neste caso, pessoas doentes) em n tentativas (pessoas escolhidas), com a probabilidade de sucesso p em cada tentativa. A fórmula da distribuição binomial é:
P(k) = binomnk p^k (1 - p)^n - k

Passo 4

Vamos quebrar essa fórmula:
  • binomnk é o coeficiente binomial, que calcula de quantas maneiras podemos escolher k pessoas doentes entre n.
  • p^k é a probabilidade de exatamente k pessoas estarem doentes.
  • (1 - p)^n - k é a probabilidade das outras n - k pessoas não estarem doentes.

Passo 5

Para calcular binomnk, usamos a fórmula:
binomnk = n!k!(n - k)!
Onde n! é o fatorial de n, que é o produto de todos os números inteiros de 1 até n.

Passo 6

Então, colocando tudo junto, a probabilidade de exatamente k pessoas estarem doentes em um grupo de n é:
P(k) = n!k!(n - k)! p^k (1 - p)^n - k

Resposta

A probabilidade de exatamente k das n pessoas selecionadas terem a doença é:
P(k) = n!k!(n - k)! p^k (1 - p)^n - k

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