Em uma cidade, sabe-se que
das pessoas é detentora de uma determinada doença, em que
. Um experimento consiste em selecionar
pessoas dessa cidade de forma independente, em que
. Qual é a probabilidade de
dessas
pessoas serern detentoras da doença, em que
é um número natural tal que
.
Passo 1
Ok, vamos lá! A questão fala sobre a probabilidade de, em um grupo de
pessoas selecionadas aleatoriamente de uma cidade, exatamente
delas terem uma determinada doença. Sabemos que cada pessoa tem uma probabilidade
de estar doente, onde
. Para resolver isso, vamos usar o conceito de Distribuição Binomial, que é justamente para calcular probabilidades de eventos independentes com dois resultados possíveis (como estar ou não doente).
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa ter eventos independentes. Aqui, cada pessoa escolhida tem uma probabilidade
de estar doente, e isso não interfere nas outras escolhas. Ou seja, a condição de uma pessoa estar doente não afeta a condição das outras.
Passo 3
A Distribuição Binomial nos dá a probabilidade de exatamente
sucessos (neste caso, pessoas doentes) em
tentativas (pessoas escolhidas), com a probabilidade de sucesso
em cada tentativa. A fórmula da distribuição binomial é:
Passo 4
Vamos quebrar essa fórmula:
-
é o coeficiente binomial, que calcula de quantas maneiras podemos escolher pessoas doentes entre . -
é a probabilidade de exatamente pessoas estarem doentes. -
é a probabilidade das outras pessoas não estarem doentes.
Passo 5
Para calcular
, usamos a fórmula:
Onde
é o fatorial de
, que é o produto de todos os números inteiros de 1 até
.
Passo 6
Então, colocando tudo junto, a probabilidade de exatamente
pessoas estarem doentes em um grupo de
é:
Resposta
A probabilidade de exatamente
das
pessoas selecionadas terem a doença é: