Em uma cidade onde se publicam três jornais A, B e C, constatou-se que entre 1000 famílias, assinam: A: 470, B:420; C:315, A e B:110, A e C: 220, B e C:140 e 75 assinam os três. Escolhendo-se ao acaso uma família, qual a probabilidade de que ela:
a) não assine nenhum jornal?
b) assine apenas um dos três jornais?

Passo 1

Vamos resumir o problema: numa cidade, foram coletados dados sobre quantas famílias assinam os jornais A, B e C, tanto individualmente quanto em combinações. Nosso objetivo é calcular duas probabilidades:
a) A probabilidade de uma família não assinar nenhum dos jornais.
b) A probabilidade de uma família assinar apenas um dos três jornais.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade e teoria de conjuntos, especialmente o princípio de inclusão-exclusão.

Passo 2

Parte a) Probabilidade de não assinar nenhum jornal
Primeiro, queremos saber quantas famílias não assinam nenhum dos jornais. Para isso, vamos calcular quantas famílias assinam pelo menos um jornal e depois subtrair esse número do total de famílias.
Usamos a fórmula do princípio de inclusão-exclusão para três conjuntos:
|A cup B cup C| = |A| + |B| + |C| - |A cap B| - |A cap C| - |B cap C| + |A cap B cap C|
Substituindo os valores fornecidos:
|A cup B cup C| = 470 + 420 + 315 - 110 - 220 - 140 + 75 = 810
Então, 810 famílias assinam pelo menos um jornal. Como o total de famílias é 1000, o número de famílias que não assinam nenhum jornal é:
1000 - 810 = 190
A probabilidade de uma família não assinar nenhum jornal é:
1901000 = 0,19 ou 19%

Passo 3

Parte b) Probabilidade de assinar apenas um dos três jornais
Agora, queremos saber quantas famílias assinam apenas um dos jornais A, B ou C. Isso significa que a família assina somente A, somente B ou somente C.
Vamos calcular para cada caso:
  • Apenas A:
|A| - |A cap B| - |A cap C| + |A cap B cap C| = 470 - 110 - 220 + 75 = 315
  • Apenas B:
|B| - |A cap B| - |B cap C| + |A cap B cap C| = 420 - 110 - 140 + 75 = 245
  • Apenas C:
|C| - |A cap C| - |B cap C| + |A cap B cap C| = 315 - 220 - 140 + 75 = 30
Somando esses valores:
315 + 245 + 30 = 590
Então, 590 famílias assinam apenas um dos três jornais. A probabilidade é:
5901000 = 0,59 ou 59%

Resposta

a) A probabilidade é de 19%.
b) A probabilidade é de 59%.

Exercícios relacionados