($ pontos) Considere um espaço de probabilidade pontos) Considere um espaço de probabilidade tal que o espaço amostral é tal que o espaço amostral é , a , a -álgebra de eventos é -ál>=bra de eventos é o conjunto das partes de o conjunto das partes de e e é uma probabilidade tal que é uma probabilidade tal que para todo subconjunto nảo vazio para todo subconjunto nảo vazio de de . Diga quais das situaçōes descritas a seguir sāo possf́veis ( Diga quais das situaçōes descritas a seguir sāo possf́veis ( não contradiz nenhum dos axiomas de Kolmogorov) e quais não são possiveis ( não contradiz nenhum dos axiomas de Kolmogorov) e quais não são possiveis ( contradiz algum dos axiomas de Kolmogorov).
© contradiz algum dos axiomas de Kolmogorov) (c) e e .

Passo 1

Vamos resolver esse exercício de probabilidade! A gente tem um espaço de probabilidade com o conjunto amostral Omega = a, b, c, d e uma função de probabilidade P que atribui valores entre 0 e 1 para cada subconjunto de Omega. Precisamos verificar se as condições dadas para P não violam os axiomas de Kolmogorov, que são as regras básicas que toda probabilidade deve seguir.

Passo 2

Primeiro, vamos recordar os Axiomas de Kolmogorov:
  1. Não negatividade: Para qualquer evento A, P(A) >= 0.
  2. Normalização: P(Omega) = 1.
  3. Aditividade: Se A e B são eventos mutuamente exclusivos, então P(A cup B) = P(A) + P(B).
Além disso, no enunciado, foi dito que P(A) > 0 para todo subconjunto não vazio A de Omega. Isso significa que nenhum evento tem probabilidade zero.

Passo 3

Agora, vamos analisar as condições do item ©:
  • P(a, b, c) = 13
  • P(d) = 13
Primeiro, observamos que a, b, c e d são eventos mutuamente exclusivos, pois não compartilham nenhum elemento em comum.

Passo 4

Usando o Axioma da Aditividade, temos que:
P(a, b, c cup d) = P(a, b, c) + P(d)
Sabemos que a, b, c cup d = Omega, então:
P(Omega) = P(a, b, c) + P(d) = 13 + 13 = 23

Passo 5

Mas, segundo o Axioma da Normalização, devemos ter que:
P(Omega) = 1
Aqui, encontramos um problema: Calculamos que P(Omega) = 23, o que contraria o segundo axioma de Kolmogorov que exige que a probabilidade do espaço amostral seja exatamente 1.

Resposta

Não é possível que P(a, b, c) = 13 e P(d) = 13 sem violar os axiomas de Kolmogorov.

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