($ pontos) Considere um espaço de probabilidade tal que o espaço amostral é , a -álgebra de eventos é o conjunto das partes de e é uma probabilidade tal que para todo subconjunto nảo vazio de . Diga quais das situaçōes descritas a seguir sāo possf́veis ( não contradiz nenhum dos axiomas de Kolmogorov) e quais não são possiveis ( contradiz algum dos axiomas de Kolmogorov).
© e .

Passo 1

Vamos resolver esse exercício de probabilidade! A gente tem um espaço de probabilidade com o conjunto amostral e uma função de probabilidade que atribui valores entre 0 e 1 para cada subconjunto de . Precisamos verificar se as condições dadas para não violam os axiomas de Kolmogorov, que são as regras básicas que toda probabilidade deve seguir.

Passo 2

Primeiro, vamos recordar os Axiomas de Kolmogorov:
  1. Não negatividade: Para qualquer evento , .
  2. Normalização: .
  3. Aditividade: Se e são eventos mutuamente exclusivos, então .
Além disso, no enunciado, foi dito que para todo subconjunto não vazio de . Isso significa que nenhum evento tem probabilidade zero.

Passo 3

Agora, vamos analisar as condições do item ©:
Primeiro, observamos que e são eventos mutuamente exclusivos, pois não compartilham nenhum elemento em comum.

Passo 4

Usando o Axioma da Aditividade, temos que:
Sabemos que , então:

Passo 5

Mas, segundo o Axioma da Normalização, devemos ter que:
Aqui, encontramos um problema: Calculamos que , o que contraria o segundo axioma de Kolmogorov que exige que a probabilidade do espaço amostral seja exatamente 1.

Resposta

Não é possível que e sem violar os axiomas de Kolmogorov.

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