($ pontos) Considere um espaço de probabilidade
tal que o espaço amostral é
, a
-álgebra de eventos é
o conjunto das partes de
e
é uma probabilidade tal que
para todo subconjunto nảo vazio
de
. Diga quais das situaçōes descritas a seguir sāo possf́veis (
não contradiz nenhum dos axiomas de Kolmogorov) e quais não são possiveis (
contradiz algum dos axiomas de Kolmogorov).
©
e
.
©
Passo 1
Vamos resolver esse exercício de probabilidade! A gente tem um espaço de probabilidade com o conjunto amostral
e uma função de probabilidade
que atribui valores entre 0 e 1 para cada subconjunto de
. Precisamos verificar se as condições dadas para
não violam os axiomas de Kolmogorov, que são as regras básicas que toda probabilidade deve seguir.
Passo 2
Primeiro, vamos recordar os Axiomas de Kolmogorov:
- Não negatividade: Para qualquer evento
, . - Normalização:
. - Aditividade: Se
e são eventos mutuamente exclusivos, então .
Além disso, no enunciado, foi dito que
para todo subconjunto não vazio
de
. Isso significa que nenhum evento tem probabilidade zero.
Passo 3
Agora, vamos analisar as condições do item ©:
Primeiro, observamos que
e
são eventos mutuamente exclusivos, pois não compartilham nenhum elemento em comum.
Passo 4
Usando o Axioma da Aditividade, temos que:
Sabemos que
, então:
Passo 5
Mas, segundo o Axioma da Normalização, devemos ter que:
Aqui, encontramos um problema: Calculamos que
, o que contraria o segundo axioma de Kolmogorov que exige que a probabilidade do espaço amostral seja exatamente 1.
Resposta
Não é possível que
e
sem violar os axiomas de Kolmogorov.
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