Um cientista que verificar a possível associação entre o peso de bebês recém nascidos e a quantidade média de açúcar consumida pela mãe durante a gestação. Para esse fim ele acompanhou 15 gestantes ao longo da gestação até o parto. Ao final do experimento ele construiu um modelo de regressão obtendo a seguinte expressão para a reta de regressão:
y=3.5+0.03 x
onde x é a quantidade média de açúcar mensal consumida em k g e y é o peso estimado em kg .
O pesquisador também calculou as somas de quadrados totais e dos resíduos, obtendo S Q T=15.42 e S Q R=15.34 Responda as questões abaixo:
c) Realize o teste ANOVA, com 5 % de significância, para determinar se beta=0 ou não. (Faça o teste completo: Hipóteses, tabela anova, região crítica e conclusão).

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que analisar se realmente existe uma relação entre a quantidade média de açúcar que a mãe consome durante a gestação e o peso do bebê ao nascer. Para isso, vamos usar o teste ANOVA, que faz parte da estatística e da análise de regressão. Precisamos verificar se o coeficiente β da nossa equação de regressão é diferente de zero, com um nível de confiança de 5%.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar das hipóteses que vamos testar:
  • Hipótese Nula (H₀): β = 0 (não há relação entre o açúcar consumido e o peso do bebê)
  • Hipótese Alternativa (H₁): β ≠ 0 (há uma relação entre o açúcar consumido e o peso do bebê)

Passo 3

Agora, vamos construir a Tabela ANOVA. A ANOVA divide a variabilidade total dos dados em duas partes: a explicada pela regressão e a não explicada (resíduos).
Os componentes da tabela são:
  • Soma de Quadrados da Regressão (SQR): Variabilidade explicada pela regressão.
  • Soma de Quadrados dos Resíduos (SQE): Variabilidade não explicada.
  • Soma de Quadrados Total (SQT): Variabilidade total dos dados.
Dado na questão:
  • SQT = 15,42
  • SQE = 15,34
  • SQR = SQT - SQE = 15,42 - 15,34 = 0,08

Passo 4

Vamos preencher a Tabela ANOVA com os graus de liberdade e os quadrados médios:
Fonte de Variação Soma de Quadrados (SQ) Graus de Liberdade (gl) Quadrado Médio (QM) F Calculado
Regressão 0,08 1 0,08 / 1 = 0,08
Resíduos 15,34 13 15,34 / 13 ≈ 1,18
Total 15,42 14

Passo 5

Agora, vamos calcular o Valor de F, que é a razão entre o quadrado médio da regressão e o quadrado médio dos resíduos:
F = QMRegressãoQMResíduos = 0,081,18 ≈ 0,068 ãí

Passo 6

Vamos determinar a região crítica para o teste. Com nível de significância de 5%, e graus de liberdade:
  • Numerador (Regressão): 1
  • Denominador (Resíduos): 13
Consultando uma tabela F ou usando uma calculadora, encontramos o valor crítico de F ≈ 4,60.

Passo 7

Comparando o F calculado com o valor crítico:
  • F calculado ≈ 0,068
  • Valor crítico ≈ 4,60
Como 0,068 < 4,60, não está na região crítica.

Resposta

Com base no teste ANOVA, como o valor calculado de F (≈0,068) é menor que o valor crítico (≈4,60), não rejeitamos a hipótese nula. Portanto, não há evidências suficientes para afirmar que o coeficiente β é diferente de zero.

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