Um cilindro de Al de 10 cm de comprimento e seção reta de 20 cm^2 deve ser usado para separar duas paredes de aço. A 17,2^circ C ele escorrega livremente entre as duas paredes. Quando Aquecido até 22,3^circ C, calcule a tensão no cilindro e a força total que ele exerce sobre cada parede, supondo que as paredes sejam completamente rígidas e a distância entre elas permaneça constante.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um cilindro de alumínio com 10 cm de comprimento e uma área de seção reta de . Esse cilindro está entre duas paredes de aço e, inicialmente, a uma temperatura de , ele não está comprimindo as paredes. Quando a temperatura aumenta para , queremos descobrir qual é a tensão no cilindro e a força que ele exerce sobre cada parede. Para resolver isso, vamos usar conceitos de expansão térmica e tensão mecânica.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a variação de temperatura que o cilindro sofreu. A variação ( De) é a diferença entre a temperatura final e a inicial:

Passo 3

O alumínio, como muitos materiais, se expande quando aquece. A expansão linear ( De) pode ser calculada pela fórmula:
De
onde:
  • é o coeficiente de expansão linear do alumínio ( ),
  • é o comprimento original ( ),
  • é a variação de temperatura ( ).
Vamos calcular :

Passo 4

Como as paredes estão completamente rígidas e a distância entre elas não muda, o cilindro não pode realmente se expandir. Isso gera uma tensão ( sigma = E cdot alpha cdot De) interna no cilindro. A tensão pode ser calculada usando a fórmula da tensão térmica:
sigma = 70 times 10^9 , Pa times 23 times 10^-6 , °C^-1 times 5,1^circC = 8,211 times 10^6 , Pa , (ou 8,211 MPa)
onde é o módulo de Young do alumínio ( ).
Vamos calcular :

Passo 5

Agora, para encontrar a força ( F = sigma cdot A ) que o cilindro exerce sobre cada parede, usamos a relação entre tensão e força:
F = 8,211 times 10^6 , Pa times 0,002 , m^2 = 16.422 times 10^3 , N , (ou 16,422 kN)
onde é a área da seção reta ( ).
Calculando :

Resposta

A tensão no cilindro de alumínio é de aproximadamente 8,2 MPa e a força total que ele exerce sobre cada parede é de cerca de 16,4 kN.

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