Um cilindro alto com área da seção reta igual a 12,0 cm^2 está parcialmente cheio de mercúrio; a superfície do mercúrio está 8,00 cm acima do fundo do cilindro. Despeja-se água lentamente sobre o mercúrio, e os dois fluidos não se misturam. Que volume de água deve ser acrescentado para dobrar a pressão manométrica no fundo do cilindro?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um cilindro com uma seção reta de área igual a ² que está parcialmente cheio de mercúrio. A parte do mercúrio está a do fundo. A gente vai despejar água por cima do mercúrio e precisa descobrir quanto volume de água adicionar para dobrar a pressão no fundo do cilindro. Vamos usar conceitos de pressão em fluidos e a fórmula da pressão hidrostática.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é pressão hidrostática. A pressão exercida por um fluido em repouso é dada por:
P = rho cdot g cdot h
Onde:
  • é a densidade do fluido,
  • é a aceleração da gravidade ( ²),
  • é a altura da coluna do fluido.

Passo 3

Inicialmente, temos apenas o mercúrio no cilindro. A pressão no fundo causada pelo mercúrio é:
Pinicial = rhoHg cdot g cdot hHg
Sabemos que a densidade do mercúrio ( ) é aproximadamente ³ e a altura ( ) é .

Passo 4

Queremos dobrar essa pressão. Ou seja, a nova pressão ( Pfinal = 2 cdot Pinicial ) deve ser:
rhoágua cdot g cdot hágua + rhoHg cdot g cdot hHg = 2 cdot rhoHg cdot g cdot hHg
Substituindo a expressão da pressão inicial:
áá
Aqui, adicionamos uma coluna de água com altura á.

Passo 5

Simplificando a equação acima, percebemos que:
rhoágua cdot hágua = rhoHg cdot hHg áá
Isso porque os termos com se cancelam.

Passo 6

Agora, isolamos hágua = rhoHgrhoágua cdot hHg á:
áá
Sabemos que a densidade da água ( á) é ³.

Passo 7

Substituindo os valores:
hágua = 13,6 , g/cm³1 , g/cm³ cdot 8,00 , cm = 108,8 , cm á³³
Então, precisamos de uma coluna de água com altura de .

Passo 8

Para encontrar o volume de água necessário, usamos a área da seção reta do cilindro:
V = Área cdot AÁ²³
Convertendo para litros ( V = 1,306 , L ³):

Resposta

É necessário adicionar aproximadamente de água para dobrar a pressão manométrica no fundo do cilindro.

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