Mostre que se for menor que certo valor limite , a força (ainda orientada ao longo do cabo) será insuficiente para fazer o pano de chão deslizar. Calcule o valor de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está falando sobre forças e movimento, especificamente sobre quando uma força não consegue fazer um pano de chão deslizar. A matéria que vamos usar aqui é Estática, que estuda as condições em que os objetos estão em equilíbrio, ou seja, sem se mover. Para resolver isso, vamos precisar entender as forças envolvidas, como a força de atrito e a decomposição de forças em componentes.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar um esquema do que está acontecendo. Imagine o pano de chão em repouso, preso por um cabo que faz um ângulo com a horizontal. A força está direcionada ao longo do cabo. Para que o pano não deslize, a força de atrito precisa ser maior ou igual à componente da força que tenta puxar o pano.

Passo 3

Vamos decompor a força em duas componentes: uma horizontal ( ) e outra vertical ( ). Usamos funções trigonométricas para isso:

Passo 4

A força de atrito máximo ( ) que impede o movimento é dada por:
Onde é o coeficiente de atrito entre o pano e o chão, e é a força normal. A força normal, nesse caso, é a soma do peso do pano ( ) menos a componente vertical da força :

Passo 5

Para o pano não deslizar, a força de atrito precisa ser maior ou igual à componente horizontal da força :
Substituindo as expressões que encontramos:

Passo 6

Agora, queremos encontrar o valor limite onde a força está apenas insuficiente para mover o pano. Nesse ponto, a desigualdade vira igualdade:

Passo 7

Vamos isolar . Primeiro, distribuímos o :
Rearranjando:
Fatorando :
Dividindo ambos os lados por :

Passo 8

Vamos usar a identidade trigonométrica , onde . Contudo, para simplificar, podemos dividir ambos os lados por :
Rearranjando para isolar :
Isso nos leva a uma equação que podemos resolver numericamente, dependendo dos valores de , e .

Resposta

O valor limite é encontrado resolvendo a equação . Dependendo dos valores específicos de , e , pode ser calculado usando métodos numéricos ou ferramentas de cálculo.

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