Mostre que se
for menor que certo valor limite
, a força
(ainda orientada ao longo do cabo) será insuficiente para fazer o pano de chão deslizar. Calcule o valor de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está falando sobre forças e movimento, especificamente sobre quando uma força
não consegue fazer um pano de chão deslizar. A matéria que vamos usar aqui é Estática, que estuda as condições em que os objetos estão em equilíbrio, ou seja, sem se mover. Para resolver isso, vamos precisar entender as forças envolvidas, como a força de atrito e a decomposição de forças em componentes.
Passo 2
Primeiro, vamos desenhar um esquema do que está acontecendo. Imagine o pano de chão em repouso, preso por um cabo que faz um ângulo
com a horizontal. A força
está direcionada ao longo do cabo. Para que o pano não deslize, a força de atrito precisa ser maior ou igual à componente da força que tenta puxar o pano.
Passo 3
Vamos decompor a força
em duas componentes: uma horizontal (
) e outra vertical (
). Usamos funções trigonométricas para isso:
Passo 4
A força de atrito máximo (
) que impede o movimento é dada por:
Onde
é o coeficiente de atrito entre o pano e o chão, e
é a força normal. A força normal, nesse caso, é a soma do peso do pano (
) menos a componente vertical da força
:
Passo 5
Para o pano não deslizar, a força de atrito precisa ser maior ou igual à componente horizontal da força
:
Substituindo as expressões que encontramos:
Passo 6
Agora, queremos encontrar o valor limite
onde a força
está apenas insuficiente para mover o pano. Nesse ponto, a desigualdade vira igualdade:
Passo 7
Vamos isolar
. Primeiro, distribuímos o
:
Rearranjando:
Fatorando
:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 8
Vamos usar a identidade trigonométrica
, onde
. Contudo, para simplificar, podemos dividir ambos os lados por
:
Rearranjando para isolar
:
Isso nos leva a uma equação que podemos resolver numericamente, dependendo dos valores de
,
e
.
Resposta
O valor limite
é encontrado resolvendo a equação
. Dependendo dos valores específicos de
,
e
,
pode ser calculado usando métodos numéricos ou ferramentas de cálculo.