Para o estado de tensões num certo ponto de uma estrutura de aço definido pelo tensor de tensões que segue, pede-se calcular as componentes de deformação neste ponto. Considere e .
Dado: .
Resposta: .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular as componentes de deformação em um ponto específico de uma estrutura de aço, usando o tensor de tensões fornecido. Vamos precisar usar conceitos de resistência dos materiais, especificamente as relações entre tensão e deformação que envolvem o módulo de Young ( ) e o coeficiente de Poisson ( ).

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a relação básica entre tensão ( ) e deformação ( ) para materiais lineares e isotrópicos, que é dada pela Lei de Hooke generalizada para três dimensões:
Onde:
  • é o tensor de deformações.
  • é o módulo de Young.
  • é o coeficiente de Poisson.
  • é o traço do tensor de tensões (a soma das tensões normais).
  • é a matriz identidade.

Passo 3

Primeiro, vamos calcular o traço do tensor de tensões . O traço é a soma das componentes diagonais:

Passo 4

Agora, vamos calcular o termo :
Então,

Passo 5

Subtraímos do tensor de tensões :

Passo 6

Agora, dividimos o resultado por para encontrar a deformação:
Convertendo para MPa ( ) e calculando cada componente:
Calculando cada fração:
Aproximando para uma casa decimal:

Resposta

A matriz de deformações no ponto dado é:

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