Para o estado de tensões num certo ponto de uma estrutura de aço definido pelo tensor de tensões que segue, pede-se calcular as componentes de deformação neste ponto. Considere e .
Dado: .
Resposta: .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular as componentes de deformação em um ponto específico de uma estrutura de aço, usando o tensor de tensões fornecido. Vamos precisar usar conceitos de resistência dos materiais, especificamente as relações entre tensão e deformação que envolvem o módulo de Young () e o coeficiente de Poisson ().
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a relação básica entre tensão () e deformação () para materiais lineares e isotrópicos, que é dada pela Lei de Hooke generalizada para três dimensões:
Onde:
é o tensor de deformações.
é o módulo de Young.
é o coeficiente de Poisson.
é o traço do tensor de tensões (a soma das tensões normais).
é a matriz identidade.
Passo 3
Primeiro, vamos calcular o traço do tensor de tensões . O traço é a soma das componentes diagonais:
Passo 4
Agora, vamos calcular o termo :
Então,
Passo 5
Subtraímos do tensor de tensões :
Passo 6
Agora, dividimos o resultado por para encontrar a deformação:
Convertendo para MPa () e calculando cada componente: