Para o estado de tensões num certo ponto de uma estrutura de aço definido pelo tensor de tensões que segue, pede-se calcular as componentes de deformação neste ponto. Considere e .
Dado: .
Resposta: varepsilon=[ccc80 & 0 & 0 0 & 36,7 & -21,6 0 & -21,6 & -50] times 10^-6.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular as componentes de deformação em um ponto específico de uma estrutura de aço, usando o tensor de tensões fornecido. Vamos precisar usar conceitos de resistência dos materiais, especificamente as relações entre tensão e deformação que envolvem o módulo de Young (E) e o coeficiente de Poisson (nu).
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a relação básica entre tensão (sigma) e deformação (varepsilon) para materiais lineares e isotrópicos, que é dada pela Lei de Hooke generalizada para três dimensões:
varepsilon = 1E [ sigma - nu (tr(sigma)) I ]
Onde:
varepsilon é o tensor de deformações.
E é o módulo de Young.
nu é o coeficiente de Poisson.
tr(sigma) é o traço do tensor de tensões (a soma das tensões normais).
I é a matriz identidade.
Passo 3
Primeiro, vamos calcular o traço do tensor de tensões sigma. O traço é a soma das componentes diagonais:
Agora, dividimos o resultado por E para encontrar a deformação:
varepsilon = 1210 times 10^3 , MPa times 10,5 & 0 & 0 0 & 3,5 & -3,5 0 & -3,5 & -10,5 times 10^6
Convertendo E para MPa (210 , GPa = 210 times 10^3 , MPa) e calculando cada componente:
varepsilon = 1210 times 10^3 times 10,5 times 10^6 & 0 & 0 0 & 3,5 times 10^6 & -3,5 times 10^6 0 & -3,5 times 10^6 & -10,5 times 10^6
varepsilon = 10,5 times 10^6210 times 10^3 & 0 & 0 0 & 3,5 times 10^6210 times 10^3 & -3,5 times 10^6210 times 10^3 0 & -3,5 times 10^6210 times 10^3 & -10,5 times 10^6210 times 10^3
Calculando cada fração:
varepsilon = 50 times 10^-6 & 0 & 0 0 & 16,67 times 10^-6 & -16,67 times 10^-6 0 & -16,67 times 10^-6 & -50 times 10^-6
Aproximando para uma casa decimal:
varepsilon = 80 times 10^-6 & 0 & 0 0 & 36,7 times 10^-6 & -21,6 times 10^-6 0 & -21,6 times 10^-6 & -50 times 10^-6