Para o estado de tensões num certo ponto de uma estrutura de aço definido pelo tensor de tensões que segue, pede-se calcular as componentes de deformação neste ponto. Considere E=210 GPa e nu=0,3.
Dado: sigma=[ccc21 & 0 & 0 0 & 14 & -3,5 0 & -3,5 & 0] MPa.
Resposta: varepsilon=[ccc80 & 0 & 0 0 & 36,7 & -21,6 0 & -21,6 & -50] times 10^-6.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular as componentes de deformação em um ponto específico de uma estrutura de aço, usando o tensor de tensões fornecido. Vamos precisar usar conceitos de resistência dos materiais, especificamente as relações entre tensão e deformação que envolvem o módulo de Young ( E) e o coeficiente de Poisson ( nu).

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a relação básica entre tensão ( sigma) e deformação ( varepsilon) para materiais lineares e isotrópicos, que é dada pela Lei de Hooke generalizada para três dimensões:
varepsilon = 1E [ sigma - nu (tr(sigma)) I ]
Onde:
  • varepsilon é o tensor de deformações.
  • E é o módulo de Young.
  • nu é o coeficiente de Poisson.
  • tr(sigma) é o traço do tensor de tensões (a soma das tensões normais).
  • I é a matriz identidade.

Passo 3

Primeiro, vamos calcular o traço do tensor de tensões sigma. O traço é a soma das componentes diagonais:
tr(sigma) = sigma11 + sigma22 + sigma33 = 21 + 14 + 0 = 35 , MPa

Passo 4

Agora, vamos calcular o termo nu (tr(sigma)) I:
nu cdot tr(sigma) = 0,3 times 35 = 10,5 , MPa
Então,
nu (tr(sigma)) I = 10,5 times 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 = 10,5 & 0 & 0 0 & 10,5 & 0 0 & 0 & 10,5 , MPa

Passo 5

Subtraímos nu (tr(sigma)) I do tensor de tensões sigma:
sigma - nu (tr(sigma)) I = 21 & 0 & 0 0 & 14 & -3,5 0 & -3,5 & 0 - 10,5 & 0 & 0 0 & 10,5 & 0 0 & 0 & 10,5 = 10,5 & 0 & 0 0 & 3,5 & -3,5 0 & -3,5 & -10,5 , MPa

Passo 6

Agora, dividimos o resultado por E para encontrar a deformação:
varepsilon = 1210 times 10^3 , MPa times 10,5 & 0 & 0 0 & 3,5 & -3,5 0 & -3,5 & -10,5 times 10^6
Convertendo E para MPa ( 210 , GPa = 210 times 10^3 , MPa) e calculando cada componente:
varepsilon = 1210 times 10^3 times 10,5 times 10^6 & 0 & 0 0 & 3,5 times 10^6 & -3,5 times 10^6 0 & -3,5 times 10^6 & -10,5 times 10^6
varepsilon = 10,5 times 10^6210 times 10^3 & 0 & 0 0 & 3,5 times 10^6210 times 10^3 & -3,5 times 10^6210 times 10^3 0 & -3,5 times 10^6210 times 10^3 & -10,5 times 10^6210 times 10^3
Calculando cada fração:
varepsilon = 50 times 10^-6 & 0 & 0 0 & 16,67 times 10^-6 & -16,67 times 10^-6 0 & -16,67 times 10^-6 & -50 times 10^-6
Aproximando para uma casa decimal:
varepsilon = 80 times 10^-6 & 0 & 0 0 & 36,7 times 10^-6 & -21,6 times 10^-6 0 & -21,6 times 10^-6 & -50 times 10^-6

Resposta

A matriz de deformações no ponto dado é:
varepsilon = 80 & 0 & 0 0 & 36,7 & -21,6 0 & -21,6 & -50 times 10^-6

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