Um cilindro circular muito longo, de raio R, está uniformente carregado com densidade volumétrica de carga rho.
Por argumentos de simetria (explicando-os), obtenha a direção e o sentido do campo elétrico num ponto P à distância r do eixo do cilindro e sua dependência das coordenadas cilíndricas (r, theta, phi).

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem um cilindro muito comprido, de raio , com uma carga distribuída de forma uniforme dentro dele, ou seja, tem uma densidade de carga volumétrica . A pergunta é: qual é a direção e o sentido do campo elétrico em um ponto que está a uma distância do eixo do cilindro? Além disso, precisamos entender como esse campo depende das coordenadas cilíndricas . Para resolver isso, vamos usar alguns conceitos de simetria e a Lei de Gauss da eletrostática.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar na simetria do problema. Como o cilindro é muito longo e a carga está distribuída uniformemente, o campo elétrico deve ser o mesmo em qualquer ponto que esteja a mesma distância do eixo, independente da direção ao redor do cilindro. Isso significa que o campo elétrico vai apontar radialmente para fora (ou para dentro, dependendo do sinal da carga) do eixo do cilindro.

Passo 3

Agora, para encontrar a magnitude desse campo, vamos usar a Lei de Gauss, que diz que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela permitividade do vácuo oint E cdot dA = Qencvarepsilon0 :
Vamos escolher uma superfície gaussiana cilíndrica coaxial com o nosso cilindro carregado, com raio e comprimento . Devido à simetria, o campo elétrico tem a mesma magnitude em toda a superfície lateral do cilindro gaussiano e é perpendicular a essa superfície.

Passo 4

Calculando o fluxo elétrico através da superfície gaussiana:
oint E cdot dA = E cdot 2pi r L
Aqui, é a área lateral do cilindro gaussiano.

Passo 5

Agora, vamos calcular a carga encerrada Qenc = rho cdot pi r^2 L . Se Qenc = rho cdot pi R^2 L , o ponto está dentro do cilindro carregado, então a carga encerrada é:
Se , o ponto está fora do cilindro, e a carga encerrada é toda a carga do cilindro gaussiano:

Passo 6

Aplicando a Lei de Gauss para E cdot 2pi r L = rho cdot pi r^2 Lvarepsilon0 :
E = rho r2varepsilon0
Simplificando:
E cdot 2pi r L = rho cdot pi R^2 Lvarepsilon0
Para E = rho R^22varepsilon0 r :
Simplificando:

Resposta

O campo elétrico no ponto E(r) = rho r2varepsilon0 & se r <= R rho R^22varepsilon0 r & se r > R está direcionado radialmente para fora (ou para dentro, se for negativa) em relação ao eixo do cilindro. A magnitude do campo elétrico depende de da seguinte forma:
Isso significa que dentro do cilindro, o campo elétrico aumenta linearmente com , e fora do cilindro, ele diminui inversamente proporcional à distância .

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