Um cilindro circular muito longo, de raio , está uniformente carregado com densidade volumétrica de carga .
Por argumentos de simetria (explicando-os), obtenha a direção e o sentido do campo elétrico num ponto P à distância do eixo do cilindro e sua dependência das coordenadas cilíndricas .
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem um cilindro muito comprido, de raio , com uma carga distribuída de forma uniforme dentro dele, ou seja, tem uma densidade de carga volumétrica . A pergunta é: qual é a direção e o sentido do campo elétrico em um ponto que está a uma distância do eixo do cilindro? Além disso, precisamos entender como esse campo depende das coordenadas cilíndricas . Para resolver isso, vamos usar alguns conceitos de simetria e a Lei de Gauss da eletrostática.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar na simetria do problema. Como o cilindro é muito longo e a carga está distribuída uniformemente, o campo elétrico deve ser o mesmo em qualquer ponto que esteja a mesma distância do eixo, independente da direção ao redor do cilindro. Isso significa que o campo elétrico vai apontar radialmente para fora (ou para dentro, dependendo do sinal da carga) do eixo do cilindro.
Passo 3
Agora, para encontrar a magnitude desse campo, vamos usar a Lei de Gauss, que diz que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela permitividade do vácuo :
Vamos escolher uma superfície gaussiana cilíndrica coaxial com o nosso cilindro carregado, com raio e comprimento . Devido à simetria, o campo elétrico tem a mesma magnitude em toda a superfície lateral do cilindro gaussiano e é perpendicular a essa superfície.
Passo 4
Calculando o fluxo elétrico através da superfície gaussiana:
Aqui, é a área lateral do cilindro gaussiano.
Passo 5
Agora, vamos calcular a carga encerrada . Se , o ponto está dentro do cilindro carregado, então a carga encerrada é:
Se , o ponto está fora do cilindro, e a carga encerrada é toda a carga do cilindro gaussiano:
Passo 6
Aplicando a Lei de Gauss para :
Simplificando:
Para :
Simplificando:
Resposta
O campo elétrico no ponto está direcionado radialmente para fora (ou para dentro, se for negativa) em relação ao eixo do cilindro. A magnitude do campo elétrico depende de da seguinte forma:
Isso significa que dentro do cilindro, o campo elétrico aumenta linearmente com , e fora do cilindro, ele diminui inversamente proporcional à distância .