Uma distribuição de carga com simetria esférica tem uma densidade de carga rho(r)=k r^n, onde k e n são constantes positivas e 0, onde R é o raio da esfera. Calcule a energia eletrostaática desta distribuição de carga. Para que valores de n a energia eé finita?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre energia eletroestática de uma distribuição de carga com simetria esférica. O enunciado nos dá uma densidade de carga rho(r) = k r^n, onde k e n são constantes positivas, e queremos calcular a energia eletrostática dessa distribuição para 0 < r < R. Além disso, vamos determinar para quais valores de n essa energia é finita. Para isso, vamos precisar usar conceitos de eletrostática, como o campo elétrico de uma distribuição de carga esférica e a fórmula da energia eletroestática em termos do campo elétrico.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o campo elétrico E(r) gerado por essa distribuição de carga. Como a distribuição tem simetria esférica, podemos usar a Lei de Gauss. A Lei de Gauss nos diz que:
oint E cdot dA = Qenclvarepsilon0
Aqui, Qencl é a carga total dentro da superfície gaussiana de raio r.

Passo 3

Vamos calcular a carga total Qencl dentro de um raio r. A densidade de carga é rho(r) = k r^n, então:
Qencl = integral0^r rho(r') 4pi r'^2 dr' = 4pi k integral0^r r'^n+2 dr'
Integrando, temos:
Qencl = 4pi kn+3 r^n+3

Passo 4

Substituindo Qencl na Lei de Gauss:
E(r) cdot 4pi r^2 = 4pi k r^n+3(n+3) varepsilon0
Simplificando:
E(r) = k r^n+1(n+3) varepsilon0

Passo 5

Agora, vamos calcular a energia eletroestática U. A energia armazenada no campo elétrico é dada por:
U = 12 varepsilon0 integral E(r)^2 4pi r^2 dr
Substituindo E(r) na expressão:
U = 12 varepsilon0 integral0^R ( k r^n+1(n+3) varepsilon0 )^2 4pi r^2 dr

Passo 6

Simplificando a expressão para U:
U = 12 varepsilon0 cdot 4pi k^2(n+3)^2 varepsilon0^2 integral0^R r^2(n+1) r^2 dr
U = 2pi k^2(n+3)^2 varepsilon0 integral0^R r^2n + 4 dr

Passo 7

Integrando:
integral0^R r^2n + 4 dr = R^2n+52n+5
Então:
U = 2pi k^2(n+3)^2 varepsilon0 cdot R^2n+52n+5 = 2pi k^2 R^2n+5(n+3)^2 (2n+5) varepsilon0

Passo 8

Agora, vamos analisar para quais valores de n a energia U é finita. Observamos que a energia depende do termo R^2n+5. Para que U seja finita, o denominador (2n+5) não pode ser zero, ou seja, n neq -2.5. Porém, como n é positivo, esse caso já não ocorre. Além disso, a integral converge se o expoente do raio na energia for tal que a energia não se torne infinita. Como R é finito, a energia será finita para todos os valores positivos de n.

Resposta

A energia eletroestática da distribuição de carga é
U = 2pi k^2 R^2n+5(n+3)^2 (2n+5) varepsilon0
E essa energia é finita para todos os valores positivos de n.

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