Uma distribuição de carga com simetria esférica tem uma densidade de carga
, onde
e
são constantes positivas e
, onde
é o raio da esfera. Calcule a energia eletrostaática desta distribuição de carga. Para que valores de
a energia eé finita?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre energia eletroestática de uma distribuição de carga com simetria esférica. O enunciado nos dá uma densidade de carga
, onde
e
são constantes positivas, e queremos calcular a energia eletrostática dessa distribuição para
. Além disso, vamos determinar para quais valores de
essa energia é finita. Para isso, vamos precisar usar conceitos de eletrostática, como o campo elétrico de uma distribuição de carga esférica e a fórmula da energia eletroestática em termos do campo elétrico.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o campo elétrico
gerado por essa distribuição de carga. Como a distribuição tem simetria esférica, podemos usar a Lei de Gauss. A Lei de Gauss nos diz que:
Aqui,
é a carga total dentro da superfície gaussiana de raio
.
Passo 3
Vamos calcular a carga total
dentro de um raio
. A densidade de carga é
, então:
Integrando, temos:
Passo 4
Substituindo
na Lei de Gauss:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos calcular a energia eletroestática
. A energia armazenada no campo elétrico é dada por:
Substituindo
na expressão:
Passo 6
Simplificando a expressão para
:
Passo 7
Integrando:
Então:
Passo 8
Agora, vamos analisar para quais valores de
a energia
é finita. Observamos que a energia depende do termo
. Para que
seja finita, o denominador
não pode ser zero, ou seja,
. Porém, como
é positivo, esse caso já não ocorre. Além disso, a integral converge se o expoente do raio na energia for tal que a energia não se torne infinita. Como
é finito, a energia será finita para todos os valores positivos de
.
Resposta
A energia eletroestática da distribuição de carga é
E essa energia é finita para todos os valores positivos de
.