Um disco circular horizontal de raio a está uniformemente carregado com densidade superficial de carga sigma. Qual é o campo num ponto do eixo vertical que atravessa o disco em seu centro, a uma distância d do centro?

Passo 1

Vamos resolver um exercício de Eletrostática. Temos um disco circular horizontal com raio que está uniformemente carregado com densidade superficial de carga . Queremos encontrar o campo elétrico em um ponto localizado ao longo do eixo vertical que passa pelo centro do disco, a uma distância do centro. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o campo elétrico gerado por distribuições de carga contínua, especificamente um disco carregado.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar um elemento infinitesimal de área no disco. Imagine uma pequena anel com raio e espessura . A área desse anel é .

Passo 3

A carga nessa área infinitesimal é dada por . Aqui, é a densidade superficial de carga, que nos dá a quantidade de carga por unidade de área.

Passo 4

O campo elétrico gerado por esse pequeno elemento de carga em nosso ponto de interesse está na direção radial, mas devido à simetria do disco, apenas a componente vertical se soma. A componente horizontal se cancela. A componente vertical do campo elétrico devido ao anel é .

Passo 5

Substituindo dE = sigma 2pi r dr4pivarepsilon0 d(d^2 + r^2)^3/2 = sigma r dr2varepsilon0 d(d^2 + r^2)^3/2 na expressão, temos:

Passo 6

Para encontrar o campo elétrico total E = integral0^a sigma r d2varepsilon0 (d^2 + r^2)^3/2 dr devido a todo o disco, precisamos integrar de até :

Passo 7

Vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Seja E = sigma d2varepsilon0 integralu=d^2^u=d^2 + a^2 1u^3/2 cdot du2 , então E = sigma d4varepsilon0 integrald^2^d^2 + a^2 u^-3/2 du . Reescrevendo a integral:

Passo 8

Integrando integral u^-3/2 du = -2u^-1/2 + C , temos:
E = sigma d4varepsilon0 [ -2u^-1/2 ]d^2^d^2 + a^2 = sigma d4varepsilon0 ( -2(d^2 + a^2)^-1/2 + 2(d^2)^-1/2 )
Aplicando os limites de integração:

Passo 9

Simplificando:
E = sigma d4varepsilon0 cdot 2 ( 1d - 1raizd^2 + a^2 )
E = sigma2varepsilon0 ( 1 - draizd^2 + a^2 )

Resposta

O campo elétrico no ponto ao longo do eixo vertical a uma distância E = sigma2varepsilon0 ( 1 - draizd^2 + a^2 ) do centro do disco é:

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