Um disco circular horizontal de raio
está uniformemente carregado com densidade superficial de carga
. Qual é o campo num ponto do eixo vertical que atravessa o disco em seu centro, a uma distância
do centro?
Passo 1
Vamos resolver um exercício de Eletrostática. Temos um disco circular horizontal com raio
que está uniformemente carregado com densidade superficial de carga
. Queremos encontrar o campo elétrico em um ponto localizado ao longo do eixo vertical que passa pelo centro do disco, a uma distância
do centro. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o campo elétrico gerado por distribuições de carga contínua, especificamente um disco carregado.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar um elemento infinitesimal de área no disco. Imagine uma pequena anel com raio
e espessura
. A área desse anel é
.
Passo 3
A carga nessa área infinitesimal é dada por
. Aqui,
é a densidade superficial de carga, que nos dá a quantidade de carga por unidade de área.
Passo 4
O campo elétrico gerado por esse pequeno elemento de carga
em nosso ponto de interesse está na direção radial, mas devido à simetria do disco, apenas a componente vertical se soma. A componente horizontal se cancela. A componente vertical do campo elétrico devido ao anel é
.
Passo 5
Substituindo
na expressão, temos:
Passo 6
Para encontrar o campo elétrico total
devido a todo o disco, precisamos integrar
de
até
:
Passo 7
Vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Seja
, então
. Reescrevendo a integral:
Passo 8
Integrando
, temos:
Aplicando os limites de integração:
Passo 9
Simplificando:
Resposta
O campo elétrico no ponto ao longo do eixo vertical a uma distância
do centro do disco é: