Um cilindro maciço não condutor de raio e comprimento está no interior de uma casca coaxial condutora de raio interno e raio externo
e mesmo comprimento. O cilindro possui uma densidade volumétrica dada por , onde e é a distância ao centro do cilindro, e a casca possui uma carga . (a) Qual a carga do cilindro? A carga na casca está localizada na superfície interna ou externa? Com base nessas respostas e usando a lei de Gauss, determine o campo elétrico em (b) ,

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. Temos um cilindro não condutor com raio e comprimento dentro de uma casca condutora coaxial com raio interno e raio externo , também com o mesmo comprimento. O cilindro tem uma densidade de carga volumétrica , onde e é a distância do centro. A casca condutora tem uma carga total .
Vamos precisar usar conceitos de eletrostática, especialmente a Lei de Gauss, para calcular a carga total do cilindro e determinar onde a carga na casca está localizada. Também vamos precisar entender como calcular o campo elétrico em diferentes pontos usando a Lei de Gauss.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a carga total do cilindro. A densidade de carga é dada por , então a carga total é a integral dessa densidade sobre o volume do cilindro.
Em coordenadas cilíndricas, o volume infinitesimal é . Assim, a carga total é:
Simplificando a integral:
Substituindo os valores:
Calculando isso:
Então, a carga do cilindro .

Passo 3

Agora, vamos ver onde a carga na casca condutora está localizada. Sabemos que a casca tem uma carga total de . Como a casca é condutora e coaxial com o cilindro, a carga no interior da casca (superfície interna) vai se distribuir de forma a neutralizar o campo elétrico dentro do condutor.
Pelo princípio de que cargas em condutores se distribuem na superfície, a carga na superfície interna da casca vai ser igual e oposta à carga do cilindro para manter o equilíbrio eletrostático. Ou seja, a superfície interna da casca terá uma carga de .
Dessa forma, a carga da casca deve estar toda na superfície externa, pois a superfície interna já está ocupada pela carga induzida .

Passo 4

Agora, vamos determinar o campo elétrico em usando a Lei de Gauss. Primeiro, lembrando que a Lei de Gauss nos diz:
Onde é a carga total dentro da superfície gaussiana.
Em , estamos exatamente no centro do cilindro. Considerando uma esfera gaussiana infinitesimalmente pequena em , a carga total dentro dela é zero, porque não envolve nenhuma extensão e, portanto, nenhuma carga está dentro dessa superfície.
Assim, aplicando a Lei de Gauss:
Portanto, o campo elétrico em é zero.

Resposta

A carga do cilindro é aproximadamente . A carga na casca condutora está localizada na superfície externa. Usando a Lei de Gauss, o campo elétrico em é zero.

Exercícios relacionados

Dois condutores isolados e tem a mesma capacitância e estão carregados com cargas e . Ligando esses condutores por meio de um fio de capacitância desprezível, calcule a carga de cada um depois de ser atingido o equilíbrio eletrostático.
Um próton é arremessado na direção de uma placa metálica (muito fina, cuja espessura pode ser desconsiderada) cuja densidade superficial de cargas é de . Se a energia cinética inicial do próton é de e o movimento do próton muda de sentido (devido à repulsão eletrostática da placa) quando ele está muito próximo da placa, de que altura o próton foi arremessado?
A polaridade da fem de uma bateria depende do sentido da corrente que a atravessa?
Por que os faróis de um automóvel ficam mais fracos quando se liga o motor de arranque?