Um cilindro maciço não condutor de raio
e comprimento
está no interior de uma casca coaxial condutora de raio interno
e raio externo
e mesmo comprimento. O cilindro possui uma densidade volumétrica dada por
, onde
e
é a distância ao centro do cilindro, e a casca possui uma carga
. (a) Qual a carga do cilindro? A carga na casca está localizada na superfície interna ou externa? Com base nessas respostas e usando a lei de Gauss, determine o campo elétrico em (b)
,
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. Temos um cilindro não condutor com raio
e comprimento
dentro de uma casca condutora coaxial com raio interno
e raio externo
, também com o mesmo comprimento. O cilindro tem uma densidade de carga volumétrica
, onde
e
é a distância do centro. A casca condutora tem uma carga total
.
Vamos precisar usar conceitos de eletrostática, especialmente a Lei de Gauss, para calcular a carga total do cilindro e determinar onde a carga na casca está localizada. Também vamos precisar entender como calcular o campo elétrico em diferentes pontos usando a Lei de Gauss.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a carga total do cilindro. A densidade de carga é dada por
, então a carga total
é a integral dessa densidade sobre o volume do cilindro.
Em coordenadas cilíndricas, o volume infinitesimal é
. Assim, a carga total é:
Simplificando a integral:
Substituindo os valores:
Calculando isso:
Então, a carga do cilindro
.
Passo 3
Agora, vamos ver onde a carga na casca condutora está localizada. Sabemos que a casca tem uma carga total de
. Como a casca é condutora e coaxial com o cilindro, a carga no interior da casca (superfície interna) vai se distribuir de forma a neutralizar o campo elétrico dentro do condutor.
Pelo princípio de que cargas em condutores se distribuem na superfície, a carga na superfície interna da casca vai ser igual e oposta à carga do cilindro para manter o equilíbrio eletrostático. Ou seja, a superfície interna da casca terá uma carga de
.
Dessa forma, a carga
da casca deve estar toda na superfície externa, pois a superfície interna já está ocupada pela carga induzida
.
Passo 4
Agora, vamos determinar o campo elétrico em
usando a Lei de Gauss. Primeiro, lembrando que a Lei de Gauss nos diz:
Onde
é a carga total dentro da superfície gaussiana.
Em
, estamos exatamente no centro do cilindro. Considerando uma esfera gaussiana infinitesimalmente pequena em
, a carga total dentro dela é zero, porque
não envolve nenhuma extensão e, portanto, nenhuma carga está dentro dessa superfície.
Assim, aplicando a Lei de Gauss:
Portanto, o campo elétrico em
é zero.
Resposta
A carga do cilindro é aproximadamente
. A carga na casca condutora está localizada na superfície externa. Usando a Lei de Gauss, o campo elétrico em
é zero.
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e
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e
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