Um cilindro maciço não condutor de raio a=2,0 mm e comprimento L=10 m está no interior de uma casca coaxial condutora de raio interno b=5 a e raio externo
7 a e mesmo comprimento. O cilindro possui uma densidade volumétrica dada por rho=A r, onde A=2 n C / m^4 e r é a distância ao centro do cilindro, e a casca possui uma carga q2=-3,35 times 10^-16 C. (a) Qual a carga do cilindro? A carga na casca está localizada na superfície interna ou externa? Com base nessas respostas e usando a lei de Gauss, determine o campo elétrico em (b) r=0,

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. Temos um cilindro não condutor com raio e comprimento dentro de uma casca condutora coaxial com raio interno e raio externo , também com o mesmo comprimento. O cilindro tem uma densidade de carga volumétrica , onde e é a distância do centro. A casca condutora tem uma carga total .
Vamos precisar usar conceitos de eletrostática, especialmente a Lei de Gauss, para calcular a carga total do cilindro e determinar onde a carga na casca está localizada. Também vamos precisar entender como calcular o campo elétrico em diferentes pontos usando a Lei de Gauss.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a carga total do cilindro. A densidade de carga é dada por Q = integral rho , dV = integral0^2pi integral0^a integral0^L A r cdot r , dz , dr , dtheta , então a carga total Q = A integral0^2pi dtheta integral0^a r^2 , dr integral0^L dz = A cdot 2pi cdot a^33 cdot L é a integral dessa densidade sobre o volume do cilindro.
Em coordenadas cilíndricas, o volume infinitesimal é a = 2,0 times 10^-3 m, L = 10 m, A = 2 times 10^-9 C/m^4 . Assim, a carga total é:
Q = 2 times 10^-9 cdot 2pi cdot (2,0 times 10^-3)^33 cdot 10
Simplificando a integral:
Q = 2 times 10^-9 cdot 2pi cdot 8 times 10^-93 cdot 10 = 32 pi times 10^-173 C approx 3,35 times 10^-16 C
Substituindo os valores:
Calculando isso:
Então, a carga do cilindro .

Passo 3

Agora, vamos ver onde a carga na casca condutora está localizada. Sabemos que a casca tem uma carga total de . Como a casca é condutora e coaxial com o cilindro, a carga no interior da casca (superfície interna) vai se distribuir de forma a neutralizar o campo elétrico dentro do condutor.
Pelo princípio de que cargas em condutores se distribuem na superfície, a carga na superfície interna da casca vai ser igual e oposta à carga do cilindro para manter o equilíbrio eletrostático. Ou seja, a superfície interna da casca terá uma carga de .
Dessa forma, a carga da casca deve estar toda na superfície externa, pois a superfície interna já está ocupada pela carga induzida .

Passo 4

Agora, vamos determinar o campo elétrico em oint E cdot dA = Qencvarepsilon0 usando a Lei de Gauss. Primeiro, lembrando que a Lei de Gauss nos diz:
oint E cdot dA = 0varepsilon0 Rightarrow E = 0
Onde é a carga total dentro da superfície gaussiana.
Em , estamos exatamente no centro do cilindro. Considerando uma esfera gaussiana infinitesimalmente pequena em , a carga total dentro dela é zero, porque não envolve nenhuma extensão e, portanto, nenhuma carga está dentro dessa superfície.
Assim, aplicando a Lei de Gauss:
Portanto, o campo elétrico em é zero.

Resposta

A carga do cilindro é aproximadamente . A carga na casca condutora está localizada na superfície externa. Usando a Lei de Gauss, o campo elétrico em é zero.

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