Dois condutores isolados
e
tem a mesma capacitância
e estão carregados com cargas
e
. Ligando esses condutores por meio de um fio de capacitância desprezível, calcule a carga de cada um depois de ser atingido o equilíbrio eletrostático.
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o que está sendo pedido. Temos dois condutores isolados, o A e o B, que possuem a mesma capacitância
e estão carregados com cargas
e
, respectivamente. Quando conectamos esses condutores por um fio cuja capacitância é desprezível, queremos descobrir qual será a carga de cada um após atingirem o equilíbrio eletrostático.
Para resolver esse problema, vamos precisar entender os conceitos de capacitância, carga elétrica e equilíbrio eletrostático. Vamos usar as fórmulas relacionadas à capacitância e à conservação da carga total.
Passo 2
Primeiro, lembramos que a capacitância
de um condutor é definida pela relação:
Onde:
-
é a carga elétrica no condutor. -
é a diferença de potencial (voltagem) do condutor.
Como os dois condutores têm a mesma capacitância
, podemos escrever para cada um:
Passo 3
Quando conectamos os dois condutores por um fio, eles compartilham a mesma diferença de potencial no equilíbrio eletrostático. Ou seja,
.
Usando a definição de capacitância novamente para cada condutor no estado de equilíbrio:
Aqui,
e
são as cargas nos condutores A e B após o equilíbrio.
Passo 4
Já que
, podemos igualar as expressões das capacitâncias:
Simplificando, obtemos:
Isso significa que, no equilíbrio, as cargas nos dois condutores serão iguais.
Passo 5
Além disso, a carga total do sistema é conservada. Ou seja:
Como
, podemos chamar cada uma de
:
Passo 6
Resolvendo para
:
Portanto, cada condutor terá a carga igual à média aritmética das cargas iniciais.
Resposta
Após atingir o equilíbrio eletrostático, cada condutor terá a carga: