Um cilindro não-condutor com comprimento infinito e raio R tem densidade volumétrica de carga nãouniforme rho(r)=a r. Mostre que a carga por unidade de comprimento do cilindro é lambda=2 pi a R^3 / 3.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um cilindro infinito (ou seja, com comprimento muito grande) que não conduz eletricidade, com raio . A densidade de carga nesse cilindro não é uniforme e é dada por , onde é uma constante e é a distância do ponto até o eixo do cilindro. Queremos encontrar a carga por unidade de comprimento desse cilindro, que é representada por . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo integral, especificamente a integração em coordenadas cilíndricas.

Passo 2

Vamos começar lembrando que a carga por unidade de comprimento é obtida integrando a densidade de carga sobre a área da seção transversal do cilindro. Como o cilindro é infinito, podemos considerar uma unidade de comprimento para simplificar os cálculos.

Passo 3

Para integrar a densidade de carga, vamos usar coordenadas cilíndricas, que são muito úteis quando lidamos com objetos circulares como cilindros. Nessas coordenadas, um elemento de área é dado por , onde é a distância radial e é o ângulo.

Passo 4

A densidade de carga é lambda = integral rho(r) , dA = integral0^2pi integral0^R a r cdot r , dr , dtheta . Para encontrar a carga total nessa unidade de comprimento, vamos integrar sobre a área da seção transversal:
Aqui, varia de 0 a (o raio do cilindro) e varia de 0 a (uma volta completa).

Passo 5

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a integral0^R a r cdot r , dr = a integral0^R r^2 , dr = a [ r^33 ]0^R = a cdot R^33 :

Passo 6

Agora, resolvemos a integral externa, que é em relação a lambda = a cdot R^33 integral0^2pi dtheta = a cdot R^33 cdot 2pi = 2pi a R^33 :

Resposta

A carga por unidade de comprimento do cilindro é .

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