Um cilindro não-condutor com comprimento infinito e raio
tem densidade volumétrica de carga nãouniforme
. Mostre que a carga por unidade de comprimento do cilindro é
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um cilindro infinito (ou seja, com comprimento muito grande) que não conduz eletricidade, com raio
. A densidade de carga nesse cilindro não é uniforme e é dada por
, onde
é uma constante e
é a distância do ponto até o eixo do cilindro. Queremos encontrar a carga por unidade de comprimento desse cilindro, que é representada por
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo integral, especificamente a integração em coordenadas cilíndricas.
Passo 2
Vamos começar lembrando que a carga por unidade de comprimento
é obtida integrando a densidade de carga
sobre a área da seção transversal do cilindro. Como o cilindro é infinito, podemos considerar uma unidade de comprimento para simplificar os cálculos.
Passo 3
Para integrar a densidade de carga, vamos usar coordenadas cilíndricas, que são muito úteis quando lidamos com objetos circulares como cilindros. Nessas coordenadas, um elemento de área
é dado por
, onde
é a distância radial e
é o ângulo.
Passo 4
A densidade de carga é
. Para encontrar a carga total nessa unidade de comprimento, vamos integrar
sobre a área da seção transversal:
Aqui,
varia de 0 a
(o raio do cilindro) e
varia de 0 a
(uma volta completa).
Passo 5
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a
:
Passo 6
Agora, resolvemos a integral externa, que é em relação a
:
Resposta
A carga por unidade de comprimento do cilindro é
.