Um bloco de 4,0 kg deslisa sobre uma superficie sem atrito e está preso a uma mola cuja constante elástica é igual a 420 N / m. Para t=0 a mola nâo está comprimida nem esticada e o bloco se move no sentido negativo cixo x horizontal com uma velocidade de 20,0 m / s. Encontre a) a amplitude e b) o ângulo de fase. c) Escreva uma equação para posiçào e para a velocidade em função do tempo.

Passo 1

Então, vamos dar uma olhada no que precisa ser resolvido aqui. Temos um bloco de 4,0 kg deslizando sem atrito sobre uma superfície e preso a uma mola com constante elástica de 420 N/m. No instante inicial (t=0), a mola está nem comprimida nem esticada, e o bloco está se movendo para a esquerda com uma velocidade de 20,0 m/s. Vamos usar conceitos de movimento harmônico simples para encontrar:
a) A amplitude
b) O ângulo de fase
c) As equações da posição e da velocidade em função do tempo

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é amplitude no contexto do movimento harmônico simples (MHS). A amplitude Ek = 12 m v^2 é a máxima distância que o bloco alcança a partir da posição de equilíbrio (onde a mola não está comprimida nem esticada).
Para encontrar a amplitude, podemos usar a energia envolvida no sistema. No início, toda a energia cinética do bloco vai ser convertida em energia potencial da mola no ponto de máxima compressão ou extensão.
A energia cinética ( Ep = 12 k e^2 ) é dada por:
12 m v^2 = 12 k e^2
E a energia potencial da mola ( e = raizmk , v ) é:
Como no ponto de máxima amplitude a energia cinética se transforma completamente em energia potencial:
Podemos simplificar e resolver para :

Passo 3

Vamos substituir os valores fornecidos na fórmula que encontramos:
e = raiz4,0, kg420, N/m times 20,0, m/s
Primeiro, calculamos o que está dentro da raiz:
4,0420 = 0,00952
Então:
e = raiz0,00952 times 20,0 approx 0,0976 times 20,0 = 1,952, m

Passo 4

Agora, para encontrar o ângulo de fase x(t) = e cos(omega t + phi) , precisamos considerar as condições iniciais do movimento. No instante v(t) = -e omega sin(omega t + phi) , a posição é x(0) = e cos(phi) = 0 Rightarrow cos(phi) = 0 Rightarrow phi = pi2 (porque a mola não está comprimida nem esticada) e a velocidade é v(0) = -e omega sin(phi) = -20,0, m/s (negativa indicando movimento para a esquerda).
As equações do MHS são:
v(0) = -e omega times 1 = -e omega
omega = raiz4204,0 = raiz105 approx 10,247, rad/s
No instante - e omega = -1,952 times 10,247 approx -20,0, m/s :
E para a velocidade:
Substituindo :
Sabemos que já calculamos e a frequência angular :
Então:
Confirmamos que está correto.

Passo 5

Finalmente, vamos escrever as equações de posição e velocidade em função do tempo usando os valores que encontramos:
x(t) = 1,952, m times cos(10,247, t + pi2)
v(t) = -1,952, m times 10,247, rad/s times sin(10,247, t + pi2) approx -20,0, m/s times sin(10,247, t + pi2)

Resposta

a) A amplitude x(t) = 1,95, m cdot cos(10,25, t + pi2) é aproximadamente 1,95 metros.
b) O ângulo de fase v(t) = -20,0, m/s cdot sin(10,25, t + pi2) é radianos.
c) As equações são:

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