Um bloco de deslisa sobre uma superficie sem atrito e está preso a uma mola cuja constante elástica é igual a . Para a mola nâo está comprimida nem esticada e o bloco se move no sentido negativo cixo horizontal com uma velocidade de . Encontre a) a amplitude b) o ângulo de fase. c) Escreva uma equação para posiçào e para a velocidade em função do tempo.

Passo 1

Então, vamos dar uma olhada no que precisa ser resolvido aqui. Temos um bloco de 4,0 kg deslizando sem atrito sobre uma superfície e preso a uma mola com constante elástica de 420 N/m. No instante inicial (t=0), a mola está nem comprimida nem esticada, e o bloco está se movendo para a esquerda com uma velocidade de 20,0 m/s. Vamos usar conceitos de movimento harmônico simples para encontrar:
a) A amplitude
b) O ângulo de fase
c) As equações da posição e da velocidade em função do tempo

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é amplitude no contexto do movimento harmônico simples (MHS). A amplitude é a máxima distância que o bloco alcança a partir da posição de equilíbrio (onde a mola não está comprimida nem esticada).
Para encontrar a amplitude, podemos usar a energia envolvida no sistema. No início, toda a energia cinética do bloco vai ser convertida em energia potencial da mola no ponto de máxima compressão ou extensão.
A energia cinética ( ) é dada por:
E a energia potencial da mola ( ) é:
Como no ponto de máxima amplitude a energia cinética se transforma completamente em energia potencial:
Podemos simplificar e resolver para :

Passo 3

Vamos substituir os valores fornecidos na fórmula que encontramos:
Primeiro, calculamos o que está dentro da raiz:
Então:

Passo 4

Agora, para encontrar o ângulo de fase , precisamos considerar as condições iniciais do movimento. No instante , a posição é (porque a mola não está comprimida nem esticada) e a velocidade é (negativa indicando movimento para a esquerda).
As equações do MHS são:
No instante :
E para a velocidade:
Substituindo :
Sabemos que já calculamos e a frequência angular :
Então:
Confirmamos que está correto.

Passo 5

Finalmente, vamos escrever as equações de posição e velocidade em função do tempo usando os valores que encontramos:

Resposta

a) A amplitude é aproximadamente 1,95 metros.
b) O ângulo de fase é radianos.
c) As equações são:

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