Considere uma esfera maciça de raio e carga total . Calcule o potencial eletrostático e o campo elétrico ao longo do eixo , para pontos internos e externos, utilizando a lei de Coulomb integral para os seguintes casos: uniforme
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma esfera maciça com raio e carga total . Precisamos calcular o potencial eletrostático e o campo elétrico ao longo do eixo , tanto para pontos dentro quanto fora da esfera. Para isso, vamos usar a Lei de Coulomb em sua forma integral, assumindo que a densidade de carga é uniforme. Vamos precisar lembrar das fórmulas de potencial e campo elétrico para distribuições contínuas de carga e saber como integrar sobre a esfera.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar a densidade de carga . Como a carga é distribuída uniformemente na esfera, a densidade de carga é a carga total dividida pelo volume da esfera. A fórmula para a densidade é:
Isso vai nos ajudar a expressar a carga em qualquer pequeno elemento de volume da esfera.
Passo 3
Agora, vamos pensar no potencial eletrostático em um ponto ao longo do eixo . A contribuição de um pequeno elemento de carga no potencial nesse ponto é dada por:
onde é a distância entre o elemento de carga e o ponto onde estamos calculando o potencial. Precisamos integrar isso sobre toda a esfera.
Passo 4
Para facilitar a integração, vamos usar coordenadas cilíndricas ou esféricas. Visto que estamos lidando com uma esfera, coordenadas esféricas são mais apropriadas. No eixo , a distância de um ponto na esfera até o ponto de interesse será:
onde é a coordenada radial do elemento de carga na esfera, e é o ângulo entre o eixo e o ponto de carga.
Passo 5
Vamos dividir a integração em duas partes: pontos fora da esfera () e pontos dentro da esfera ().
Para (externo):
A distância simplifica para . Mas devido à simetria, o potencial se comporta como se toda a carga estivesse no centro, então:
Para (interno):
Dentro da esfera, apenas a carga dentro do raio contribui para o potencial:
Passo 6
Agora, vamos calcular o campo elétrico derivando o potencial em relação a :
Para :
Derivando :
Para :
Derivando :
Resposta
O potencial eletrostático ao longo do eixo é dado por: