Considere uma esfera maciça de raio R e carga total Q. Calcule o potencial eletrostático e o campo elétrico ao longo do eixo z, para pontos internos e externos, utilizando a lei de Coulomb integral para os seguintes casos: rho= uniforme

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma esfera maciça com raio e carga total . Precisamos calcular o potencial eletrostático e o campo elétrico ao longo do eixo , tanto para pontos dentro quanto fora da esfera. Para isso, vamos usar a Lei de Coulomb em sua forma integral, assumindo que a densidade de carga é uniforme. Vamos precisar lembrar das fórmulas de potencial e campo elétrico para distribuições contínuas de carga e saber como integrar sobre a esfera.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar a densidade de carga rho = Q43pi R^3 . Como a carga é distribuída uniformemente na esfera, a densidade de carga é a carga total dividida pelo volume da esfera. A fórmula para a densidade é:
Isso vai nos ajudar a expressar a carga em qualquer pequeno elemento de volume da esfera.

Passo 3

Agora, vamos pensar no potencial eletrostático dV = 14pivarepsilon0 dqr em um ponto ao longo do eixo . A contribuição de um pequeno elemento de carga no potencial nesse ponto é dada por:
onde é a distância entre o elemento de carga e o ponto onde estamos calculando o potencial. Precisamos integrar isso sobre toda a esfera.

Passo 4

Para facilitar a integração, vamos usar coordenadas cilíndricas ou esféricas. Visto que estamos lidando com uma esfera, coordenadas esféricas são mais apropriadas. No eixo r = raizz^2 + rho'^2 - 2zrho'costheta , a distância de um ponto na esfera até o ponto de interesse será:
onde é a coordenada radial do elemento de carga na esfera, e é o ângulo entre o eixo e o ponto de carga.

Passo 5

Vamos dividir a integração em duas partes: pontos fora da esfera ( V(z) = 14pivarepsilon0 Qz ) e pontos dentro da esfera ( V(z) = 14pivarepsilon0 ( Q2R (3 - z^2R^2) ) ).
Para (externo):
A distância simplifica para . Mas devido à simetria, o potencial se comporta como se toda a carga estivesse no centro, então:
Para (interno):
Dentro da esfera, apenas a carga dentro do raio contribui para o potencial:

Passo 6

Agora, vamos calcular o campo elétrico E(z) = -dVdz derivando o potencial E(z) = 14pivarepsilon0 Qz^2 em relação a E(z) = 14pivarepsilon0 Qz2R^3 :
Para :
Derivando :
Para :
Derivando :

Resposta

O potencial eletrostático ao longo do eixo V(z) = 14pivarepsilon0 Qz & para z > R 14pivarepsilon0 Q2R (3 - z^2R^2) & para z < R é dado por:
E(z) = 14pivarepsilon0 Qz^2 & para z > R 14pivarepsilon0 Qz2R^3 & para z < R
E o campo elétrico ao longo do eixo é:

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