Um cilindro, de raio interno R e contendo ar, é provido de um pistão de massa m que pode deslizar livremente. O sistema está inicialmente em equilíbrio à temperatura de 600 K e a altura h vale 18 x 10-2 m. Se o ar for aquecido até atingir um novo estado de equilíbrio à temperatura de 800 K, o novo valor de h será:

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um cilindro com raio interno $ R $ que contém ar e um pistão com massa $ m $ que pode deslizar livremente. Inicialmente, o sistema está em equilíbrio à temperatura de $ 600 , K $ e a altura $ h $ do ar dentro do cilindro é $ 18 \times 10^{-2} , m $. A pergunta é: se a temperatura aumentar para $ 800 , K $, qual será a nova altura $ h $ do ar no cilindro?
Para resolver isso, vamos precisar usar a Lei dos Gases Ideais, que relaciona pressão, volume e temperatura de um gás. Também vamos considerar que o pistão está em equilíbrio, ou seja, a pressão do gás dentro do cilindro equilibra as forças atuantes sobre ele.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a condição de equilíbrio inicial. O pistão está em repouso, então a força exercida pelo gás dentro do cilindro deve igualar a força gravitacional que age sobre o pistão. A força gravitacional é dada por:
F = m cdot g
Onde:
  • $ m $ é a massa do pistão
  • $ g $ é a aceleração da gravidade ($ \approx 9,81 , m/s² $)
Então, a pressão exercida pelo gás $ P $ é:
m
Aqui, $ A = \pi R^2 $ é a área da seção transversal do cilindro.

Passo 3

Agora, aplicamos a Lei dos Gases Ideais, que é:
P cdot V = n cdot R cdot T
Onde:
  • $ P $ é a pressão
  • $ V $ é o volume
  • $ n $ é a quantidade de matéria (número de mols)
  • $ R $ é a constante universal dos gases ($ 8,314 , J/(mol \cdot K) $)
  • $ T $ é a temperatura em Kelvin
Como o piston está deslizando livremente e não há vazamento de ar, a quantidade de matéria $ n $ e o raio $ R $ permanecem constantes. O volume $ V $ do gás é dado por:
P

Passo 4

Como $ n $ e $ R $ são constantes, podemos relacionar os estados inicial e final usando a relação:
n
Sabemos que a pressão inicial $ P_1 = P_2 $ porque a força exercida pelo pistão não mudou, apenas a temperatura e a altura.
Então, podemos simplificar a equação para:
R
Substituindo $ V = \pi R^2 \cdot h $:
P1 cdot V1T1 = P2 cdot V2T2
O $ \pi R^2 $ cancela dos dois lados:
P1 = P2

Passo 5

Agora, resolvemos para $ h_2 $:
h2
Substituindo os valores dados:
h2 = h1 cdot T2T1

Passo 6

Fazendo as contas:
h2 = 0,18 , m cdot 800600 = 0,18 , m cdot 43 = 0,24 , m

Resposta

A nova altura $ h $ do ar no cilindro será de 0,24 metros.

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