Um cilindro, de raio interno R e contendo ar, é provido de um pistão de massa m que pode deslizar livremente. O sistema está inicialmente em equilíbrio à temperatura de 600 K e a altura h vale 18 x 10-2 m. Se o ar for aquecido até atingir um novo estado de equilíbrio à temperatura de 800 K, o novo valor de h será:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um cilindro com raio interno $ R $ que contém ar e um pistão com massa $ m $ que pode deslizar livremente. Inicialmente, o sistema está em equilíbrio à temperatura de $ 600 , K $ e a altura $ h $ do ar dentro do cilindro é $ 18 \times 10^{-2} , m $. A pergunta é: se a temperatura aumentar para $ 800 , K $, qual será a nova altura $ h $ do ar no cilindro?
Para resolver isso, vamos precisar usar a Lei dos Gases Ideais, que relaciona pressão, volume e temperatura de um gás. Também vamos considerar que o pistão está em equilíbrio, ou seja, a pressão do gás dentro do cilindro equilibra as forças atuantes sobre ele.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a condição de equilíbrio inicial. O pistão está em repouso, então a força exercida pelo gás dentro do cilindro deve igualar a força gravitacional que age sobre o pistão. A força gravitacional é dada por:
Onde:
- $ m $ é a massa do pistão
- $ g $ é a aceleração da gravidade ($ \approx 9,81 , m/s² $)
Então, a pressão exercida pelo gás $ P $ é:
Aqui, $ A = \pi R^2 $ é a área da seção transversal do cilindro.
Passo 3
Agora, aplicamos a Lei dos Gases Ideais, que é:
Onde:
- $ P $ é a pressão
- $ V $ é o volume
- $ n $ é a quantidade de matéria (número de mols)
- $ R $ é a constante universal dos gases ($ 8,314 , J/(mol \cdot K) $)
- $ T $ é a temperatura em Kelvin
Como o piston está deslizando livremente e não há vazamento de ar, a quantidade de matéria $ n $ e o raio $ R $ permanecem constantes. O volume $ V $ do gás é dado por:
Passo 4
Como $ n $ e $ R $ são constantes, podemos relacionar os estados inicial e final usando a relação:
Sabemos que a pressão inicial $ P_1 = P_2 $ porque a força exercida pelo pistão não mudou, apenas a temperatura e a altura.
Então, podemos simplificar a equação para:
Substituindo $ V = \pi R^2 \cdot h $:
O $ \pi R^2 $ cancela dos dois lados:
Passo 5
Agora, resolvemos para $ h_2 $:
Substituindo os valores dados:
Passo 6
Fazendo as contas:
Resposta
A nova altura $ h $ do ar no cilindro será de 0,24 metros.