Um cilindro reto de base circular de raio r e altura h é inscrito numa esfera de raio 5. Encontre a altura do cilindro quando r = 3.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um cilindro reto com base circular de raio $ r $ e altura $ h $ que está inscrito numa esfera de raio 5. Precisamos encontrar a altura $ h $ quando o raio $ r $ é igual a 3. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria espacial, especificamente as relações entre cilindros e esferas.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a situação: o cilindro está completamente dentro da esfera, tocando a esfera nas partes mais distantes. Isso significa que a diagonal do cilindro (a distância do centro da base até o topo oposto do cilindro dentro da esfera) é igual ao diâmetro da esfera.

Passo 3

Sabendo que o raio da esfera é 5, o diâmetro da esfera é $ 2 \times 5 = 10 $. Agora, vamos relacionar isso com o cilindro. A diagonal do cilindro pode ser encontrada usando o Teorema de Pitágoras no triângulo formado pelo raio da base do cilindro, metade da altura e a diagonal.

Passo 4

Aplicando o Teorema de Pitágoras, temos:
diagonal^2 = (2r)^2 + h^2
Mas como a diagonal é igual ao diâmetro da esfera, substituímos:
10^2 = (2 times 3)^2 + h^2
100 = 36 + h^2

Passo 5

Agora, vamos isolar $ h^2 $:
h^2
h^2 = 100 - 36

Passo 6

Para encontrar $ h $, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
h
h = raiz64

Resposta

A altura do cilindro é $ h = 8 $ unidades.

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