Um cilindro reto de base circular de raio r e altura h é inscrito numa esfera de raio 5. Encontre a altura do cilindro quando r = 3.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um cilindro reto com base circular de raio $ r $ e altura $ h $ que está inscrito numa esfera de raio 5. Precisamos encontrar a altura $ h $ quando o raio $ r $ é igual a 3. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria espacial, especificamente as relações entre cilindros e esferas.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a situação: o cilindro está completamente dentro da esfera, tocando a esfera nas partes mais distantes. Isso significa que a diagonal do cilindro (a distância do centro da base até o topo oposto do cilindro dentro da esfera) é igual ao diâmetro da esfera.
Passo 3
Sabendo que o raio da esfera é 5, o diâmetro da esfera é $ 2 \times 5 = 10 $. Agora, vamos relacionar isso com o cilindro. A diagonal do cilindro pode ser encontrada usando o Teorema de Pitágoras no triângulo formado pelo raio da base do cilindro, metade da altura e a diagonal.
Passo 4
Aplicando o Teorema de Pitágoras, temos:
Mas como a diagonal é igual ao diâmetro da esfera, substituímos:
Passo 5
Agora, vamos isolar $ h^2 $:
Passo 6
Para encontrar $ h $, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
Resposta
A altura do cilindro é $ h = 8 $ unidades.