Dados A = (3, 0, 0), B = (0, 1, 0) e C(3, 3, 0), o ponto D no eixo z (cota) para que o tetraedro ABCD tenha volume igual a 18.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem três pontos no espaço: A = (3, 0, 0), B = (0, 1, 0) e C = (3, 3, 0). Queremos encontrar um ponto D que está no eixo z (ou seja, tem a forma (0, 0, z)) de modo que o tetraedro formado por A, B, C e D tenha um volume igual a 18. Para resolver isso, vamos usar a fórmula do volume de um tetraedro no espaço, que envolve vetores e cálculo de determinantes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o volume $ V $ de um tetraedro formado pelos pontos A, B, C e D pode ser calculado usando a seguinte fórmula:
Aqui, $ \vec{AB} $, $ \vec{AC} $ e $ \vec{AD} $ são vetores que representam as arestas do tetraedro.
Passo 3
Vamos calcular os vetores:
- $ \vec{AB} = B - A = (0-3, 1-0, 0-0) = (-3, 1, 0) $
- $ \vec{AC} = C - A = (3-3, 3-0, 0-0) = (0, 3, 0) $
- $ \vec{AD} = D - A = (0-3, 0-0, z-0) = (-3, 0, z) $
Passo 4
Agora, vamos calcular o produto vetorial $ \vec{AB} \times \vec{AC} $. Lembrando que o produto vetorial de dois vetores $ (a, b, c) $ e $ (d, e, f) $ é:
Aplicando isso aos nossos vetores:
Passo 5
Em seguida, calculamos o produto escalar $ \vec{AD} \cdot (\vec{AB} \times \vec{AC}) $:
Passo 6
Agora, aplicamos a fórmula do volume:
Queremos que esse volume seja igual a 18, então:
Passo 7
Resolvendo para $ |z| $:
Como $ z $ está no eixo z acima do plano xy, assumimos $ z = 12 $.
Resposta
O ponto D no eixo z que satisfaz o volume de 18 é $ D = (0, 0, 12) $.