Cinco homens e uma mulher pretendem utilizar um banco de cinco lugares. De quantas maneiras diferentes podem sentar-se nunca ficando em pé a mulher?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de arranjos, que faz parte da combinatória. A situação é a seguinte: temos cinco homens e uma mulher que querem sentar em um banco com cinco lugares. A gente precisa descobrir de quantas maneiras diferentes eles podem se sentar, garantindo que a mulher sempre tenha um lugar e não fique de fora.

Passo 2

Primeiro, vamos entender quantas pessoas vão sentar no banco. Temos um total de 6 pessoas (5 homens + 1 mulher), mas o banco tem 5 lugares. Como a mulher não pode ficar de fora, ela sempre vai ocupar um dos lugares. Então, precisamos escolher quais 4 homens vão sentar junto com a mulher.

Passo 3

Para isso, vamos usar a fórmula de combinação, que nos ajuda a escolher um grupo sem se preocupar com a ordem. A fórmula de combinação é:
C(n, k) = n!k!(n-k)!
Aqui, $ n = 5 $ (homens) e $ k = 4 $ (homens que vão sentar). Calculando:
n = 5
Então, temos 5 maneiras de escolher quais 4 homens vão sentar com a mulher.

Passo 4

Agora, precisamos considerar a ordem em que essas 5 pessoas vão se sentar no banco. Para isso, usamos a fórmula de arranjo, que leva em conta a ordem. A fórmula de arranjo é:
A(n) = n!
Aqui, $ n = 5 $ (pessoas que vão sentar). Calculando:
n = 5
Então, cada grupo de 5 pessoas pode se arranjar de 120 maneiras diferentes no banco.

Passo 5

Para encontrar o total de maneiras diferentes de sentar, multiplicamos o número de maneiras de escolher os homens pelo número de arranjos:
Total = C(5, 4) times A(5) = 5 times 120 = 600

Resposta

Existem 600 maneiras diferentes de os cinco homens e a mulher se sentarem no banco, garantindo que a mulher nunca fique de pé.

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