Com cinco médicos e sete enfermeiros, devem-se formar equipes com 5 desses profissionais. Se em cada equipe deve ter, pelo menos, um médico e um enfermeiro, o número de equipes distintas que podem ser formadas é:
a)35
b)175
c)210
d)350
e)770
a)35
b)175
c)210
d)350
e)770
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse problema juntos. A questão fala sobre formar equipes de 5 profissionais escolhendo entre 5 médicos e 7 enfermeiros. Precisamos garantir que em cada equipe tenha pelo menos um médico e um enfermeiro. Vamos usar conceitos de combinação para descobrir quantas equipes diferentes podemos formar.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o total de profissionais disponíveis: 5 médicos + 7 enfermeiros = 12 profissionais. Se quisermos formar equipes de 5 pessoas sem nenhuma restrição, usamos a combinação de 12 elementos tomados de 5 em 5, que é representada por:
Passo 3
No entanto, precisamos excluir as equipes que não atendem à condição de ter pelo menos um médico e um enfermeiro. Isso significa que não queremos equipes compostas apenas por médicos ou apenas por enfermeiros.
Passo 4
Vamos calcular primeiro o número de equipes que têm apenas médicos. Como temos 5 médicos, a combinação é:
Então, há apenas 1 equipe que é formada somente por médicos.
Passo 5
Agora, vamos calcular o número de equipes que têm apenas enfermeiros. São 7 enfermeiros e queremos formar equipes de 5:
Então, há 21 equipes formadas somente por enfermeiros.
Passo 6
Agora, somamos as equipes que não atendem à condição:
Passo 7
Para encontrar o número de equipes que atendem à condição de ter pelo menos um médico e um enfermeiro, subtraímos as equipes inválidas do total de equipes possíveis:
Vamos calcular $ C(12,5) $:
Então:
Resposta
A quantidade de equipes distintas que podem ser formadas é 770.