Com cinco médicos e sete enfermeiros, devem-se formar equipes com 5 desses profissionais. Se em cada equipe deve ter, pelo menos, um médico e um enfermeiro, o número de equipes distintas que podem ser formadas é:
a)35
b)175
c)210
d)350
e)770

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse problema juntos. A questão fala sobre formar equipes de 5 profissionais escolhendo entre 5 médicos e 7 enfermeiros. Precisamos garantir que em cada equipe tenha pelo menos um médico e um enfermeiro. Vamos usar conceitos de combinação para descobrir quantas equipes diferentes podemos formar.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o total de profissionais disponíveis: 5 médicos + 7 enfermeiros = 12 profissionais. Se quisermos formar equipes de 5 pessoas sem nenhuma restrição, usamos a combinação de 12 elementos tomados de 5 em 5, que é representada por:
C(12,5) = 12!5!(12-5)!

Passo 3

No entanto, precisamos excluir as equipes que não atendem à condição de ter pelo menos um médico e um enfermeiro. Isso significa que não queremos equipes compostas apenas por médicos ou apenas por enfermeiros.

Passo 4

Vamos calcular primeiro o número de equipes que têm apenas médicos. Como temos 5 médicos, a combinação é:
C(5,5) = 5!5!(5-5)! = 1
Então, há apenas 1 equipe que é formada somente por médicos.

Passo 5

Agora, vamos calcular o número de equipes que têm apenas enfermeiros. São 7 enfermeiros e queremos formar equipes de 5:
C(7,5) = 7!5!(7-5)! = 21
Então, há 21 equipes formadas somente por enfermeiros.

Passo 6

Agora, somamos as equipes que não atendem à condição:
1 (apenas médicos) + 21 (apenas enfermeiros) = 22 é

Passo 7

Para encontrar o número de equipes que atendem à condição de ter pelo menos um médico e um enfermeiro, subtraímos as equipes inválidas do total de equipes possíveis:
C(12,5) - 22
Vamos calcular $ C(12,5) $:
C(12,5)
Então:
C(12,5) = 12!5!7! = 792

Resposta

A quantidade de equipes distintas que podem ser formadas é 770.

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