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Um técnico de um time de voleibol possui a sua disposição 15 jogadores que podem jogar em qualquer posição. De quantas maneira ele poderá escalar seu time?
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Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. O técnico de voleibol tem 15 jogadores disponíveis, e ele pode colocar qualquer um deles em qualquer posição. A gente quer saber de quantas maneiras diferentes ele pode montar o time. Aqui, vamos usar combinatória, mais especificamente permutação, porque a ordem em que escolhemos os jogadores importa quando atribuímos posições diferentes a eles.

Passo 2

Primeiro, precisamos saber quantas posições existem no time de voleibol. No voleibol, normalmente temos 6 posições na quadra: 3 na frente e 3 na rede. Então, o técnico vai escolher 6 jogadores dentre os 15 disponíveis para preencher essas posições.

Passo 3

Agora, vamos usar a fórmula de permutação, que serve para calcular de quantas maneiras podemos escolher e organizar um grupo de objetos onde a ordem importa. A fórmula da permutação é:
P(n, k) = n!(n - k)!
onde:
  • $ n $ é o número total de elementos disponíveis (no caso, 15 jogadores),
  • $ k $ é o número de elementos que queremos escolher (no caso, 6 posições).

Passo 4

Vamos substituir os valores na fórmula:
P(15, 6) = 15!(15 - 6)! = 15!9!

Passo 5

Agora, vamos calcular o valor numérico. Sabemos que $ n! $ (fatorial de n) é o produto de todos os números inteiros de 1 até n. Então:
n!
Ao substituir na expressão de $ P(15, 6) $:
15! = 15 times 14 times 13 times 12 times 11 times 10 times 9!
Calculando passo a passo:
P(15, 6)
P(15, 6) = 15 times 14 times 13 times 12 times 11 times 10 times 9!9! = 15 times 14 times 13 times 12 times 11 times 10
15 times 14 = 210
210 times 13 = 2730
2730 times 12 = 32,760

Resposta

O técnico pode escalar o time de 3.603.600 maneiras diferentes.

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