Um circuito é formado por duas impedâncias em paralelo, Z1 com R1 =20 Omega e L1 = 10 mH e Z 2 com R2 =30 Omega e C2=25 mu F, e uma fonte de alimentação de CA com um valor máximo de 300 V e uma frequência angular de 2000 rad / s. Determine:
A variação com o tempo da corrente na fonte, i(t).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um circuito com duas impedâncias em paralelo:
  • Z₁: formada por um resistor de $ R_1 = 20 , \Omega $ e um indutor de $ L_1 = 10 , mH $.
  • Z₂: formada por um resistor de $ R_2 = 30 , \Omega $ e um capacitor de $ C_2 = 25 , \muF $.
Além disso, temos uma fonte de alimentação de corrente alternada (CA) com um valor máximo de 300 V e uma frequência angular de $ \omega = 2000 , rad/s $.
Nosso objetivo é determinar a variação no tempo da corrente na fonte, $ i(t) $.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de circuitos AC, especificamente como calcular impedâncias em paralelo e como relacionar tensão e corrente em circuitos AC usando a lei de Ohm para impedâncias.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é impedância. Em circuitos de corrente alternada, a impedância $ Z $ generaliza a resistência para considerar também os efeitos de indutância e capacitância. Ela pode ser representada como um número complexo:
Z
onde:
  • $ R $ é a resistência,
  • $ X $ é a reatância (que pode ser indutiva $ X_L $ ou capacitiva $ X_C $),
  • $ j $ é a unidade imaginária.
Vamos calcular as impedâncias $ Z_1 $ e $ Z_2 $ para cada ramo do circuito.

Passo 3

Para o Z₁ (resistor e indutor em série):
A reatância indutiva $ X_L $ é dada por:
XL
Substituindo os valores:
XL = omega L
Então, a impedância $ Z_1 $ é:
XL = 2000 , rad/s times 0,01 , H = 20 , Omega

Passo 4

Para o Z₂ (resistor e capacitor em paralelo):
A reatância capacitiva $ X_C $ é dada por:
XC
Substituindo os valores:
XC = 1omega C
Agora, como o resistor e o capacitor estão em paralelo, a impedância total $ Z_2 $ é dada por:
XC = 12000 , rad/s times 25 times 10^-6 , F = 10,05 = 20 , Omega
Vamos calcular isso.

Passo 5

Calculando as inversas das impedâncias:
1R2 = 130 , Omega^-1
1jXC = 1j20 = -j 120 , Omega^-1
Somando as duas inversas:
1Z2 = 130 - j 120
Para encontrar $ Z_2 $, precisamos inverter essa soma.

Passo 6

Calculando a soma das inversas:
1Z2 = 130 - j 120
Primeiro, vamos converter para forma fracionária:
130 = 0,0333
120 = 0,05
Então:
1Z2 = 0,0333 - j0,05
Agora, para encontrar $ Z_2 $, calculamos o inverso:
Z2
Para simplificar isso, multiplicamos o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador:
Z2 = 10,0333 - j0,05

Passo 7

Realizando a multiplicação:
No denominador:
(0,0333)^2 + (0,05)^2 = 0,00111 + 0,0025 = 0,00361
No numerador:
0,0333 + j0,05
Então:
Z2 = 0,0333 + j0,050,00361
Dividindo cada parte:
Z2 = 0,03330,00361 + j0,050,00361
Z2 approx 9,23 + j13,81 , Omega

Passo 8

Agora temos as impedâncias dos dois ramos:
Z1 = 20 + j20 , Omega
Z2 = 9,23 + j13,81 , Omega
Como estão em paralelo, a impedância total $ Z_{total} $ é dada pela combinação dessas duas impedâncias em paralelo:
Ztotal
Vamos calcular isso.

Passo 9

Calculando as inversas:
1Z1 = 120 + j20
1Z2 = 19,23 + j13,81
Para encontrar essas inversas, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado:
Para $ Z_1 $:
Z1
Para $ Z_2 $:
1Z1 = 20 - j20(20)^2 + (20)^2 = 20 - j20800 = 0,025 - j0,025 , Omega^-1
Calculando os quadrados:
Z2
1Z2 = 9,23 - j13,81(9,23)^2 + (13,81)^2
9,23^2 approx 85,22
Então:
13,81^2 approx 190,80

Passo 10

Somando as inversas:
1Ztotal = (0,025 - j0,025) + (0,0335 - j0,05)
1Ztotal = 0,0585 - j0,075 , Omega^-1
Agora, para encontrar $ Z_{total} $, calculamos o inverso dessa soma.

Passo 11

Calculando o inverso:
Ztotal = 10,0585 - j0,075
Multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado do denominador:
Ztotal = 10,0585 - j0,075 times 0,0585 + j0,0750,0585 + j0,075
No denominador:
(0,0585)^2 + (0,075)^2 = 0,00342 + 0,005625 = 0,009045
No numerador:
0,0585 + j0,075
Então:
Ztotal = 0,0585 + j0,0750,009045
Ztotal approx 6,466 + j8,289 , Omega

Passo 12

Agora que temos a impedância total, podemos calcular a corrente na fonte. A fonte tem uma tensão máxima de 300 V e uma frequência angular de $ \omega = 2000 , rad/s $.
Em circuitos AC, a relação entre tensão e corrente é dada por:
omega = 2000 , rad/s áá
Onde $ |Z_{total}| $ é a magnitude da impedância total.
Vamos calcular $ |Z_{total}| $:
Imáx = Vmáx|Ztotal|
|Ztotal|
|Ztotal|
|Ztotal| = raiz(6,466)^2 + (8,289)^2

Passo 13

Calculando a corrente máxima:
Imáx = 300 , V10,52 , Omega approx 28,56 , A á
Agora, a corrente na fonte varia no tempo de forma senoidal, seguindo a mesma frequência da fonte. Então, a corrente pode ser expressa como:
i(t) = Imáx cdot sin(omega t + phi) á
Onde $ \phi $ é o ângulo de fase da impedância total.

Passo 14

Para encontrar o ângulo de fase $ \phi $, usamos a relação:
phi
Substituindo:
phi = arctan(Im(Ztotal)Re(Ztotal))
Convertendo para radianos:
phi = arctan(8,2896,466) approx arctan(1,283) approx 52,2^circ

Passo 15

Agora, podemos escrever a expressão final para a corrente:
i(t) = 28,56 , A cdot sin(2000 , t + 0,911)

Resposta

A variação no tempo da corrente na fonte é dada por:
i(t) = 28,56 , A cdot sin(2000 , t + 0,911)

Exercícios relacionados