Um circuito é formado por duas impedâncias em paralelo, Z1 com R1
e L1
10 mH e Z 2 com R2
e
, e uma fonte de alimentação de CA com um valor máximo de 300 V e uma frequência angular de
. Determine:
A variação com o tempo da corrente na fonte,
.
A variação com o tempo da corrente na fonte,
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um circuito com duas impedâncias em paralelo:
- Z₁: formada por um resistor de $ R_1 = 20 , \Omega $ e um indutor de $ L_1 = 10 , mH $.
- Z₂: formada por um resistor de $ R_2 = 30 , \Omega $ e um capacitor de $ C_2 = 25 , \muF $.
Além disso, temos uma fonte de alimentação de corrente alternada (CA) com um valor máximo de 300 V e uma frequência angular de $ \omega = 2000 , rad/s $.
Nosso objetivo é determinar a variação no tempo da corrente na fonte, $ i(t) $.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de circuitos AC, especificamente como calcular impedâncias em paralelo e como relacionar tensão e corrente em circuitos AC usando a lei de Ohm para impedâncias.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é impedância. Em circuitos de corrente alternada, a impedância $ Z $ generaliza a resistência para considerar também os efeitos de indutância e capacitância. Ela pode ser representada como um número complexo:
onde:
- $ R $ é a resistência,
- $ X $ é a reatância (que pode ser indutiva $ X_L $ ou capacitiva $ X_C $),
- $ j $ é a unidade imaginária.
Vamos calcular as impedâncias $ Z_1 $ e $ Z_2 $ para cada ramo do circuito.
Passo 3
Para o Z₁ (resistor e indutor em série):
A reatância indutiva $ X_L $ é dada por:
Substituindo os valores:
Então, a impedância $ Z_1 $ é:
Passo 4
Para o Z₂ (resistor e capacitor em paralelo):
A reatância capacitiva $ X_C $ é dada por:
Substituindo os valores:
Agora, como o resistor e o capacitor estão em paralelo, a impedância total $ Z_2 $ é dada por:
Vamos calcular isso.
Passo 5
Calculando as inversas das impedâncias:
Somando as duas inversas:
Para encontrar $ Z_2 $, precisamos inverter essa soma.
Passo 6
Calculando a soma das inversas:
Primeiro, vamos converter para forma fracionária:
Então:
Agora, para encontrar $ Z_2 $, calculamos o inverso:
Para simplificar isso, multiplicamos o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador:
Passo 7
Realizando a multiplicação:
No denominador:
No numerador:
Então:
Dividindo cada parte:
Passo 8
Agora temos as impedâncias dos dois ramos:
Como estão em paralelo, a impedância total $ Z_{total} $ é dada pela combinação dessas duas impedâncias em paralelo:
Vamos calcular isso.
Passo 9
Calculando as inversas:
Para encontrar essas inversas, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado:
Para $ Z_1 $:
Para $ Z_2 $:
Calculando os quadrados:
Então:
Passo 10
Somando as inversas:
Agora, para encontrar $ Z_{total} $, calculamos o inverso dessa soma.
Passo 11
Calculando o inverso:
Multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado do denominador:
No denominador:
No numerador:
Então:
Passo 12
Agora que temos a impedância total, podemos calcular a corrente na fonte. A fonte tem uma tensão máxima de 300 V e uma frequência angular de $ \omega = 2000 , rad/s $.
Em circuitos AC, a relação entre tensão e corrente é dada por:
Onde $ |Z_{total}| $ é a magnitude da impedância total.
Vamos calcular $ |Z_{total}| $:
Passo 13
Calculando a corrente máxima:
Agora, a corrente na fonte varia no tempo de forma senoidal, seguindo a mesma frequência da fonte. Então, a corrente pode ser expressa como:
Onde $ \phi $ é o ângulo de fase da impedância total.
Passo 14
Para encontrar o ângulo de fase $ \phi $, usamos a relação:
Substituindo:
Convertendo para radianos:
Passo 15
Agora, podemos escrever a expressão final para a corrente:
Resposta
A variação no tempo da corrente na fonte é dada por: