Um circuito série consta de
ohms e
. As tensões
e
são aplicadas nele, uma de cada vez. Achar a corrente proveniente de cada fonte.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos um circuito série com um resistor de $ R = 5 $ ohms e um capacitor de $ C = 50 \mu\mathrm{F} $. Duas tensões diferentes são aplicadas nesse circuito, uma de cada vez:
- $ v_{1} = 170 \cos(1000t + 20^\circ) $
- $ v_{2} = 170 \cos(2000t + 20^\circ) $
Nosso objetivo é encontrar a corrente que sai de cada fonte quando elas são aplicadas individualmente. Para isso, vamos usar conceitos de circuitos de corrente alternada, especialmente a ideia de impedância em circuitos RC série.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é impedância. Em circuitos de corrente alternada, a impedância ($ Z
R
X_C $). A fórmula para a impedância de um circuito RC série é:
Aqui, $ j $ é a unidade imaginária, e $ \omega $ é a frequência angular da fonte de tensão. A reatância capacitiva ($ X_C $) é dada por:
Passo 3
Vamos calcular a impedância para cada tensão aplicada. Primeiro, identificamos as frequências angulares:
- Para $ v_{1} $: $ \omega_1 = 1000 $ rad/s
- Para $ v_{2} $: $ \omega_2 = 2000 $ rad/s
Agora, calculamos a reatância capacitiva correspondente a cada frequência:
Passo 4
Com as reatâncias em mãos, podemos escrever as impedâncias complexas para cada caso:
O sinal negativo em $ X_C $ indica que a reatância capacitiva causa um defasamento da corrente em relação à tensão.
Passo 5
Para encontrar a corrente, usamos a lei de Ohm para corrente alternada:
Como as tensões são dadas em forma de função cosseno, vamos representá-las como fasores. A tensão $ v $ pode ser representada como $ V \angle \phi $, onde $ V $ é a amplitude e $ \phi $ é a fase.
Para $ v_1 = 170 \cos(1000t + 20^\circ) $:
Para $ v_2 = 170 \cos(2000t + 20^\circ) $:
Passo 6
Vamos calcular a corrente para cada caso.
Para $ V_1 $:
Primeiro, calculamos o módulo de $ Z_1 $:
E o ângulo de $ Z_1 $:
Agora, a corrente $ I_1 $:
Convertendo de volta para a forma cosseno:
Para $ V_2 $:
Calculamos o módulo de $ Z_2 $:
E o ângulo de $ Z_2 $:
Agora, a corrente $ I_2 $:
Convertendo para a forma cosseno:
Resposta
A corrente proveniente de cada fonte é: