Um circuito série consta de R=5 ohms e C=50 mu F. As tensões v1=170 cos (1000 t+20^circ) e v2=170 cos (2000 t+20^circ) são aplicadas nele, uma de cada vez. Achar a corrente proveniente de cada fonte.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos um circuito série com um resistor de $ R = 5 $ ohms e um capacitor de $ C = 50 \mu\mathrm{F} $. Duas tensões diferentes são aplicadas nesse circuito, uma de cada vez:
  • $ v_{1} = 170 \cos(1000t + 20^\circ) $
  • $ v_{2} = 170 \cos(2000t + 20^\circ) $
Nosso objetivo é encontrar a corrente que sai de cada fonte quando elas são aplicadas individualmente. Para isso, vamos usar conceitos de circuitos de corrente alternada, especialmente a ideia de impedância em circuitos RC série.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é impedância. Em circuitos de corrente alternada, a impedância ($ Z Z éêê R R â X_C $). A fórmula para a impedância de um circuito RC série é:
XC
Aqui, $ j $ é a unidade imaginária, e $ \omega $ é a frequência angular da fonte de tensão. A reatância capacitiva ($ X_C $) é dada por:
Z = R + 1jomega C

Passo 3

Vamos calcular a impedância para cada tensão aplicada. Primeiro, identificamos as frequências angulares:
  • Para $ v_{1} $: $ \omega_1 = 1000 $ rad/s
  • Para $ v_{2} $: $ \omega_2 = 2000 $ rad/s
Agora, calculamos a reatância capacitiva correspondente a cada frequência:
v1
omega1 = 1000

Passo 4

Com as reatâncias em mãos, podemos escrever as impedâncias complexas para cada caso:
Z1 = R + jXC1 = 5 + j(-20) , ohms
Z2 = R + jXC2 = 5 + j(-10) , ohms
O sinal negativo em $ X_C $ indica que a reatância capacitiva causa um defasamento da corrente em relação à tensão.

Passo 5

Para encontrar a corrente, usamos a lei de Ohm para corrente alternada:
I = VZ
Como as tensões são dadas em forma de função cosseno, vamos representá-las como fasores. A tensão $ v $ pode ser representada como $ V \angle \phi $, onde $ V $ é a amplitude e $ \phi $ é a fase.
Para $ v_1 = 170 \cos(1000t + 20^\circ) $:
v
Para $ v_2 = 170 \cos(2000t + 20^\circ) $:
V ang<= phi

Passo 6

Vamos calcular a corrente para cada caso.
Para $ V_1 $:
V1
Primeiro, calculamos o módulo de $ Z_1 $:
I1 = V1Z1 = 170 ang<= 20^circ5 - j20
E o ângulo de $ Z_1 $:
Z1
Agora, a corrente $ I_1 $:
|Z1| = raiz5^2 + (-20)^2 = raiz25 + 400 = raiz425 approx 20,62 , ohms
Convertendo de volta para a forma cosseno:
Z1
Para $ V_2 $:
thetaZ1 = arctan(-205) = arctan(-4) approx -75,96^circ
Calculamos o módulo de $ Z_2 $:
I1
E o ângulo de $ Z_2 $:
I1 = 17020,62 ang<= (20^circ - (-75,96^circ)) = 8,25 ang<= 95,96^circ , A
Agora, a corrente $ I_2 $:
i1(t) = 8,25 cos(1000t + 96^circ) , A
Convertendo para a forma cosseno:
V2

Resposta

A corrente proveniente de cada fonte é:
i1(t) = 8,25 cos(1000t + 96^circ) , A
i2(t) = 15,2 cos(2000t + 83,43^circ) , A

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