Em um circuito
oscilante, qual a carga do capacitor, em termos da carga máxima
, quando a energia do campo elétrico é um terço da energia do campo magnético? Quantas vezes essa situação ocorre dentro de um período completo de oscilação?
Passo 1
Vamos resolver um exercício sobre circuitos oscilantes
. O problema pergunta qual é a carga no capacitor, em termos da carga máxima
, quando a energia do campo elétrico é um terço da energia do campo magnético. Além disso, precisamos descobrir quantas vezes essa situação ocorre durante um ciclo completo de oscilação. Para isso, vamos usar conceitos de energia em circuitos oscilantes e as relações entre energia elétrica e magnética.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em um circuito
oscilante, a energia total do sistema se alterna entre a energia armazenada no capacitor (campo elétrico) e a energia armazenada no indutor (campo magnético). A energia total
é constante e igual à energia máxima, que ocorre quando toda a energia está no capacitor ou no indutor.
A energia no capacitor é dada por:
onde
é a carga no capacitor e
é a capacitância.
A energia no indutor é:
com
sendo a indutância e
a corrente no indutor.
Passo 3
Como a energia total é a soma das energias no capacitor e no indutor, temos:
No ponto de máxima carga, toda a energia está no capacitor (
) e a corrente é zero.
Passo 4
O exercício nos diz que a energia do campo elétrico é um terço da energia do campo magnético:
Substituindo as expressões de
e
:
Simplificando:
Passo 5
Sabemos que a corrente
está relacionada à variação da carga:
Em um circuito oscillante, a carga varia harmonicamente:
onde
é a frequência angular.
Derivando:
O valor máximo da corrente é
.
Passo 6
Substituindo
na equação anterior:
Sabemos que:
Substituindo
:
Isso confirma que, na condição dada, a relação de energias está correta.
Passo 7
Agora, queremos encontrar a carga
quando
. Já estabelecemos que:
Considerando a relação de energia e substituindo
:
Portanto:
Passo 8
Para descobrir quantas vezes essa situação ocorre em um ciclo completo, observamos que as energias se igualam duas vezes durante cada oscilação: uma vez quando a energia está passando do capacitor para o indutor e outra quando está retornando. Portanto, essa situação ocorre duas vezes por período.
Resposta
A carga no capacitor é
e essa situação ocorre duas vezes durante um ciclo completo de oscilação.